论文阅读 -- Small gaps between primes (Maynard)
引言 如果关注孪生素数猜想的话,我们知道的是,在Goldston,Pintz,Yildirim对admissible k-tuple筛选,得到了一些突破性的成果(这些我在论文阅读之翻译篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)和论文阅读之重点提炼篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz,...
筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) -- Selberg用二次型计算筛函数上界
引言 这篇文章,我们将介绍Selberg最简单的上界筛模型,其利用二次型求极值的方法,从而对筛函数求出了一个上界.而Selberg更深刻的应用则可以见筛法读书笔记(哥德巴赫猜想 by 潘承洞) – 加权筛法顶峰之陈景润定理.实际上这篇文章就是对Selberg筛法模型的一个补全,否则前后内容之间会有所缺失. 而利用二次型的想法,在其他的地方也有很广泛的应用,其在惜字如金的Serre书中甚至占了特别大的篇幅,而在GPY的论文中也有应用!后者可以见论文阅读之重点提炼篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim),而前者我完成筛法部分的内容后也可以慢慢开启! 而正如我上篇文章结尾所说,本篇文章只是一个补充,不会也不能很长,那么现在就正式开启Selberg筛法的旅程! 二次型的构造 Selberg筛法的理论基础来源于下面一个可以直接验证的不等式: S(A;P,z)≤∑a∈A(∑d∣a, d∣P(z)λd)2,(2.1)S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) \le \sum_{a \in...
筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) -- Brun用组合筛法击落(一半)孪生素数猜想
引言 决定了,还是先花最少的时间,先把Halberstam的第二章速速解决掉.毕竟已经是上个月就已经学习完的内容,并且经过上一篇文章的洗礼,我觉得我对Brun筛法又有了一些新的认识了.这次尽量还是压缩一些篇幅,以记录下一些关键要点为主吧规划一下内容后感觉已经是奢望了.😰 其中对于Brun定理的推论–也就是所有孪生素数的倒数之和是收敛的–这个我已经在围绕Brun定理展开的素数指标求和估计式中已经解释完了,而本章最主要的目的便是,为什么对于π2(x)\pi_2(x)π2(x)的估计是正确的?即根据Brun’s pure sieve来证明 π2(x)≪xlog2x(loglogx)2.\pi_2(x) \ll \frac{x}{\log^2 x} (\log\log x)^2. π2(x)≪log2xx(loglogx)2. 其中π2(x)\pi_2(x)π2(x)的定义就在前面的博客首段就有介绍,以及在筛法的顶峰之一 – 陈景润定理开头提到的,用Brun’s...
筛法读书笔记(哥德巴赫猜想 by 潘承洞) -- 加权筛法顶峰之陈景润定理
引言 在这段时间内,虽然一直没有更新,但是还是干了不少事的.例如,我终于把Halberstam的第二章给看完了!在这一章中我们完成了(7,7)(7, 7)(7,7)以及(1,7)(1, 7)(1,7)的证明,用严谨一点的语言来说就是: Brun’s pure sieve: \quad 存在无穷个自然数nnn,使得: (n,n+2)=(P7,P7′).(n, n+2) = (\mathscr{P}_7, \mathscr{P}'_7). (n,n+2)=(P7,P7′). Brun’s sieve: \quad 存在无穷个素数ppp,使得: p+2=P7.p+2 = \mathscr{P}_7. p+2=P7. \quad...
围绕Brun定理展开的素数指标求和估计式
引言 在学习Halberstam的第二章时(没错,我还在第二章😭),在第二节Brun Pure Sieve中,为了关于孪生素数的猜想,我们付出了巨大的贡献,巨大的牺牲,巨大的Carry,最终成功得到了: π2(x):=∣{p:p≤x,p+2=p′}∣≪xlog2x(loglogx)2,(Halberstam 2.19)\pi_2(x) := |\{ p : p \le x, p + 2 = p' \}| \ll \dfrac{x}{\log^2 x} (\log\log x)^2,\quad (\text{Halberstam } 2.19) π2(x):=∣{p:p≤x,p+2=p′}∣≪log2xx(loglogx)2,(Halberstam 2.19) 其中ppp和p′p'p′当然都指的是素数,以及在解析数论中,≪\ll≪并不是远远小于的意思,而是Big O Notation的意思,其在论文Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many...
论文阅读之重点提炼篇 -- Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)
引言 虽然已经翻译了GPY论文的两节,但是最主要的内容并没有翻译,也就是用命题1和命题2去证明最重要的定理1和定理2,因此这也是不得不细品的一个环节. 原文的链接可以见:https://arxiv.org/abs/math/0508185. 当然,前面两节的拙劣翻译也可见我的前一篇博客.后续我将看一下命题1和命题2的证明过程,然后更新张益唐的想法与思路,而这一部分应该会更加简略一些.然后补充一下陈定理的博客,现在应该会轻松很多了吧.最后就是Maynard和Polymath的论文部分,当然也是前者为主. 命题和定理 以下是我们需要的命题.而其证明过程我后边再简单看一下好了. 命题1. 令H=H1∪H2\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \cup \mathcal{H}_2H=H1∪H2,∣Hi∣=ki|\mathcal{H_i}| = k_i∣Hi∣=ki,并且r=∣H1∩H2∣r = |\mathcal{H_1} \cap \mathcal{H_2}|r=∣H1∩H2∣.如果R≪N12(logN)−4MR \ll...
论文阅读之翻译篇 -- Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)
导言 本篇是对Goldston,Pintz,Yildirim的一篇论文Primes in tuples I的一部分内容的翻译,阅读后的体会与感悟应该会单独再出一篇博客.而原文的链接可以见:https://arxiv.org/abs/math/0508185. GPY的这篇论文刊登在Annals of Mathematics,因此该论文的含金量不必我多说.而重要的是,这篇文章为后面对素数间隙分布的研究提供了新的思路与方法,并且在短短几年内,循着该文中提出的4个问题,数学界对该方面的研究得到了重大的突破.因此阅读这篇文章是必要的. 摘要 我们介绍了一种方法,用于证明存在一些彼此之间非常接近的素数.这种方法依赖于算术级数中素数的分布水平.在Elliott-Halberstam猜想成立的假设下,我们证明了存在无穷多组相差16或者更小的素数.即使是在更弱的猜想成立,也意味着存在无穷多组相差有界的素数.而无条件地,我们证明存在有比平均间隙的任意小倍数更接近的连续素数,也就是: lim infn→∞pn+1−pnlogpn=0.\liminf_{n \to \infty}...
特殊函数之prime tuple的探测器 -- k-th Mangoldt函数
引言 期末周快结束了,差不多终于可以看点自己感兴趣的内容了!堆积了好多内容可以更新,但事已至此,也只能慢慢来了. 首先先记录下k-th Mangoldt function的内容,因为它实际上就是在考察对Dirichlet卷积的计算,初等数论的期末考试也有这方面的考题,虽然很简单就是了.因此接下来的内容里,应该主要是计算为主了,这下要狠狠敲公式了. 但是这个函数我也并不是在什么数论习题册上找到的,而是它实实在在地出现在了GPY的论文中,为了限制一个数的素因子个数的函数.并且十分重要的GPY权函数也是从k-th Mangoldt函数出发,最后推导出来的.因此对这个函数的讨论还是有记录价值的. Mangoldt函数经典版 最常见到的Mangoldt函数就是1st Mangoldt函数,用Dirichlet卷积表示出来就是: Λ1(n)=μ(n)∗log(n)=∑d∣nμ(d)log(nd).(1)\Lambda_1(n) = \mu(n) * \log(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \log\left(\dfrac{n}{d} \right)....
Riemann-Roch定理的历史历程
引言 Riemann-Roch定理是代数几何和复分析中一个十分重要的定理,它建立了代数曲线,向量丛和其相关空间之间的深刻联系.并且在后续的时间里,许多数学家也对其进行了重述与推广,进一步丰富了Riemann-Roch定理的深刻内涵. 这个定理也是数学史上一个意义非凡的例子,它同时也展示了一个结论,通过不同的解释方法,能发挥意想不到的巨大作用. Riemann-Roch定理的原始形式 Riemann-Roch定理的发现,最早这篇在可以追溯到1857年Bernhard Riemann发表的一篇论文Theorie der Abel’schen Functionen[1][2]^{[1][2]}[1][2]. 我们都知道,在复平面上,一个有界的全纯函数当且仅当是常值函数,而无界的全纯函数,又可以由其零点及零点处的阶数很容易确定(首项系数顶多差一个常数);与此同时,某些实函数是不能延拓到整个复平面的,例如Logz, z\textrm{Log} z,\...
筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) -- 筛函数与一些经典筛法例子
引言 稍微花了亿点点的时间,Halberstam的第一章终究还是看完了! 虽然已经在二潘的『哥德巴赫猜想』一书中简单看了Selberg筛法,自以为已经对筛法的思想有所入门.但是在看了Halberstam的第一章后,才发现我有很多忽略掉的细节和动机.而这些内容,也都是作者有意提及,让我突然意识到,竟然还有这种考量! 不愧是『筛法圣经』,收获颇丰!更让我想要把整本书都看完了,虽然现在只看完了1/10(会看完的).而第二章的内容则更是充实,这一章便已经又占去了整本书的1/6更多.可能是组合筛法并没有和后续内容有很多的配合,所以关于组合筛法要说的东西都浓缩在这一章中. 而张益唐关于素数间隙的工作主要便用到了组合筛法以及加权的想法,而细节方面,我后续还会仔细阅读原始论文的.这又是一个大工程了,应该还要翻译与之相关的一篇文献出来,但是以我的英语水平,我争取翻译出完整的句子来😇. 更新这一篇章应该也要一段时间了,虽然说目前还是以介绍符号为主,但是值得学习的内容还真不少.废话少说,直接开冲🤠! 前置(但不简单)的一些知识点 放在最前面的前面,是关于常数的一些默认的规定: ...