论文阅读 -- On irregular prime power divisors of the Bernoulli numbers (Kellner)
引言 最近学习了一点关于Bernoulli number关于p-valuation下的一些结论,其甚至能与p-adic zeta function的零点联系起来,感觉十分神奇,因此记录一下. 主要的内容参考的是Kellner于2005年的这篇论文:https://arxiv.org/pdf/math/0409223[1]^{[1]}[1],而关于p-adic zeta function和Kummer Congruence等更细节的内容也参考了Washington的Introduction to cyclotomic fields[2]^{[2]}[2]的第四章和第五章. 内容不是很多,也只是简单记录一些有意思的知识点,不太涉及到过多的计算和证明啥的了(相对而言Kellner的这篇论文的证明不是很让人头疼的了).总而言之,Anon队长,博客更新! Bernoulli number的一些性质 Bernoulli number的定义 关于Bernoulli number的很多奇妙深刻的性质,在The Bernoulli number...
丢番图几何读书笔记(Quantitative Arithmetic of Projective Varieties by Browning) -- 数论与几何的深度交叉
引言 博客更新辣!一看上次更新,还是在四个月前.除了爽玩之外,也还是参加了中科院的暑校学习了一些丢番图问题的知识.于是终于打算开始学习Tim Browning的这本Quantitative Arithmetic of Projective Varieties[1]{[1]}[1]. 在看这本书之前,还没有意识到这些数论问题和几何之间的联系原来有这么深,因此很值得记录一下,免得一段时间下来进度为负然后被薄纱. 此处先记录该书的第一章内容,以及本章后的习题(都还蛮简单的).由于第一章其实是Intro性质的,涉及到了很多开放性的问题,但成书又是在2006年左右,因此我也简单收集了一下这些问题的最新进展,或许这些进展又能反过来带来新的想法,而这就在后面的某段时间可以看看了. 再补充说明一下,与筛法读书笔记基本翻译原文的风格不同,我尽量以极简风格来记录这些内容.话说到此处打住,接下来要狠狠启动了!😎 高度有界的整点的分布 Birch定理 假设f∈Z[x1,⋯ ,xn]f \in \mathbb{Z}[x_1, \cdots,...
论文阅读 -- Small gaps between primes (Maynard) & Bounded gaps between primes (Yitang Zhang)
引言 如果关注孪生素数猜想的话,我们知道的是,在Goldston,Pintz,Yildirim对admissible k-tuple筛选,得到了一些突破性的成果(这些我在论文阅读之翻译篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)和论文阅读之重点提炼篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz,...
筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) -- Selberg用二次型计算筛函数上界
引言 这篇文章,我们将介绍Selberg最简单的上界筛模型,其利用二次型求极值的方法,从而对筛函数求出了一个上界.而Selberg更深刻的应用则可以见筛法读书笔记(哥德巴赫猜想 by 潘承洞) – 加权筛法顶峰之陈景润定理.实际上这篇文章就是对Selberg筛法模型的一个补全,否则前后内容之间会有所缺失. 而利用二次型的想法,在其他的地方也有很广泛的应用,其在惜字如金的Serre书中甚至占了特别大的篇幅,而在GPY的论文中也有应用!后者可以见论文阅读之重点提炼篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim),而前者我完成筛法部分的内容后也可以慢慢开启! 而正如我上篇文章结尾所说,本篇文章只是一个补充,不会也不能很长,那么现在就正式开启Selberg筛法的旅程! 二次型的构造 Selberg筛法的理论基础来源于下面一个可以直接验证的不等式: S(A;P,z)≤∑a∈A(∑d∣a, d∣P(z)λd)2,(2.1)S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) \le \sum_{a \in...
筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) -- Brun用组合筛法击落(一半)孪生素数猜想
引言 决定了,还是先花最少的时间,先把Halberstam的第二章速速解决掉.毕竟已经是上个月就已经学习完的内容,并且经过上一篇文章的洗礼,我觉得我对Brun筛法又有了一些新的认识了.这次尽量还是压缩一些篇幅,以记录下一些关键要点为主吧规划一下内容后感觉已经是奢望了.😰 其中对于Brun定理的推论–也就是所有孪生素数的倒数之和是收敛的–这个我已经在围绕Brun定理展开的素数指标求和估计式中已经解释完了,而本章最主要的目的便是,为什么对于π2(x)\pi_2(x)π2(x)的估计是正确的?即根据Brun’s pure sieve来证明 π2(x)≪xlog2x(loglogx)2.\pi_2(x) \ll \frac{x}{\log^2 x} (\log\log x)^2. π2(x)≪log2xx(loglogx)2. 其中π2(x)\pi_2(x)π2(x)的定义就在前面的博客首段就有介绍,以及在筛法的顶峰之一 – 陈景润定理开头提到的,用Brun’s...
筛法读书笔记(哥德巴赫猜想 by 潘承洞) -- 加权筛法顶峰之陈景润定理
引言 在这段时间内,虽然一直没有更新,但是还是干了不少事的.例如,我终于把Halberstam的第二章给看完了!在这一章中我们完成了(7,7)(7, 7)(7,7)以及(1,7)(1, 7)(1,7)的证明,用严谨一点的语言来说就是: Brun’s pure sieve: \quad 存在无穷个自然数nnn,使得: (n,n+2)=(P7,P7′).(n, n+2) = (\mathscr{P}_7, \mathscr{P}'_7). (n,n+2)=(P7,P7′). Brun’s sieve: \quad 存在无穷个素数ppp,使得: p+2=P7.p+2 = \mathscr{P}_7. p+2=P7. \quad...
围绕Brun定理展开的素数指标求和估计式
引言 在学习Halberstam的第二章时(没错,我还在第二章😭),在第二节Brun Pure Sieve中,为了关于孪生素数的猜想,我们付出了巨大的贡献,巨大的牺牲,巨大的Carry,最终成功得到了: π2(x):=∣{p:p≤x,p+2=p′}∣≪xlog2x(loglogx)2,(Halberstam 2.19)\pi_2(x) := |\{ p : p \le x, p + 2 = p' \}| \ll \dfrac{x}{\log^2 x} (\log\log x)^2,\quad (\text{Halberstam } 2.19) π2(x):=∣{p:p≤x,p+2=p′}∣≪log2xx(loglogx)2,(Halberstam 2.19) 其中ppp和p′p'p′当然都指的是素数,以及在解析数论中,≪\ll≪并不是远远小于的意思,而是Big O Notation的意思,其在论文Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many...
论文阅读之重点提炼篇 -- Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)
引言 虽然已经翻译了GPY论文的两节,但是最主要的内容并没有翻译,也就是用命题1和命题2去证明最重要的定理1和定理2,因此这也是不得不细品的一个环节. 原文的链接可以见:https://www.jstor.org/stable/25662161. 当然,前面两节的拙劣翻译也可见我的前一篇博客.后续我将看一下命题1和命题2的证明过程,然后更新张益唐的想法与思路,而这一部分应该会更加简略一些.然后补充一下陈定理的博客,现在应该会轻松很多了吧.最后就是Maynard和Polymath的论文部分,当然也是前者为主. 命题和定理 以下是我们需要的命题.而其证明过程我后边再简单看一下好了. 命题1. 令H=H1∪H2\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \cup \mathcal{H}_2H=H1∪H2,∣Hi∣=ki|\mathcal{H_i}| = k_i∣Hi∣=ki,并且r=∣H1∩H2∣r = |\mathcal{H_1} \cap \mathcal{H_2}|r=∣H1∩H2∣.如果R≪N12(logN)−4MR \ll...
论文阅读之翻译篇 -- Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)
导言 本篇是对Goldston,Pintz,Yildirim的一篇论文Primes in tuples I的一部分内容的翻译,阅读后的体会与感悟应该会单独再出一篇博客.而原文的链接可以见:https://www.jstor.org/stable/25662161. GPY的这篇论文刊登在Annals of Mathematics,因此该论文的含金量不必我多说.而重要的是,这篇文章为后面对素数间隙分布的研究提供了新的思路与方法,并且在短短几年内,循着该文中提出的4个问题,数学界对该方面的研究得到了重大的突破.因此阅读这篇文章是必要的. 摘要 我们介绍了一种方法,用于证明存在一些彼此之间非常接近的素数.这种方法依赖于算术级数中素数的分布水平.在Elliott-Halberstam猜想成立的假设下,我们证明了存在无穷多组相差16或者更小的素数.即使是在更弱的猜想成立,也意味着存在无穷多组相差有界的素数.而无条件地,我们证明存在有比平均间隙的任意小倍数更接近的连续素数,也就是: lim infn→∞pn+1−pnlogpn=0.\liminf_{n \to \infty}...
特殊函数之prime tuple的探测器 -- k-th Mangoldt函数
引言 期末周快结束了,差不多终于可以看点自己感兴趣的内容了!堆积了好多内容可以更新,但事已至此,也只能慢慢来了. 首先先记录下k-th Mangoldt function的内容,因为它实际上就是在考察对Dirichlet卷积的计算,初等数论的期末考试也有这方面的考题,虽然很简单就是了.因此接下来的内容里,应该主要是计算为主了,这下要狠狠敲公式了. 但是这个函数我也并不是在什么数论习题册上找到的,而是它实实在在地出现在了GPY的论文中,为了限制一个数的素因子个数的函数.并且十分重要的GPY权函数也是从k-th Mangoldt函数出发,最后推导出来的.因此对这个函数的讨论还是有记录价值的. Mangoldt函数经典版 最常见到的Mangoldt函数就是1st Mangoldt函数,用Dirichlet卷积表示出来就是: Λ1(n)=μ(n)∗log(n)=∑d∣nμ(d)log(nd).(1)\Lambda_1(n) = \mu(n) * \log(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \log\left(\dfrac{n}{d} \right)....
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