丢番图逼近之一 -- 为什么355/113能很好地代替圆周率pi?

引言

本文实际上是我在我们自己的学辅网站上写的帖子,稍加修改直接搬过来,免得到现在都没有一篇正式的帖子.

如果知道以下知识可能更容易理解: 但是本文不需要前置知识!!!

问题解答

回到我们的问题,其实在群里的人应该已经知道了,这个问题其实就是:

为什么在分母小于 $16000$ 的所有分数里, $\frac{355}{113}$ 是最接近圆周率 $\pi$ 的?

本文将在解决上述问题之后,再介绍连分数这个工具,以及连分数和该问题的联系.由于本科(包括数学系)并不会专门学习连分数,因此本文也只会简单地介绍一些比较有趣的结论,感兴趣的同学可以到参考文献部分去更系统地了解.文中也会有一些小问题留给大家思考,也欢迎大家进行尝试.

我们现在知道了圆周率的值为 $\pi=3.1415926\cdots$ ,因此理论上我们都可以找到一个分数让它足够接近 $\pi$ ,比如我们就可以取 $\frac{p}{q}=\frac{31415926}{10000000}=\frac{15707963}{5000000}$ ,而它与 $\pi$ 的误差也控制在了 $1.0\times10^{-7}$ 内.但是很显然,这个数的分母太大了,稍不留神就少写或者多写了个 $0$ .而 $\frac{355}{113}=3.141592920\cdots$ 与 $\pi$ 的误差仅有 $2.668\times10^{-7}$ ,精确程度和前者差不了多少,但是分母却小了太多太多,而且 $113355$ 也十分便于记忆,并且它还有自己的名字–“密率”, $\frac{355}{113}$ 它已经赢了太多了.

我们现在来考虑一下,如果一个分数要比 $\frac{355}{113}$ 更精确,那分母应该至少有多大呢?

$\quad$ 首先我们已经知道有:

$0<\left|\frac{355}{113}-\pi\right|<2.668\times10^{-7}$

$\quad$ 如果 $\frac{p}{q}$ 比 $\frac{355}{113}$ 更接近 $\pi$ ,其中假设 $p,q$ 为互素的正数,那么应该也有:

$0<\left|\frac{p}{q}-\pi\right|<2.668\times10^{-7}$

$\quad$ 从而由绝对值不等式:

$0<\left|\frac{355}{113}-\frac{p}{q}\right|=\left|\frac{355q-113p}{113q}\right|<2\times2.668\times10^{-7}$

$\quad$ 由于 $p$ 和 $q$ 都是正整数,故 $|355q-113p|$ 为正整数,必然是有 $1\le |355q-113p|$ 的.故而有:

$\frac{1}{113q}<2\times2.668\times10^{-7}$

$q>\frac{1}{113\times2\times2.668\times10^{-7}}>16584$

也就是说,如果我想找一个比 $\frac{355}{113}$ 更接近 $\pi$ 的分数,那么它的分母(也就是 $q$ )必须是大于 $16584$ 的!事实也是这样子的,我们可以找到 $\frac{52163}{16604}=3.141592387\cdots$ ,它只接近了一点点,但是分母却是大了不止一点点.[1]

思考题来喽!

$\quad$ 现在试着证明一下,在分母小于50的所有分数里, $\frac{22}{7}$ 是最接近圆周率 $\pi$ 的,而这个分数也称为"约率".

超强工具-连分数

连分数的定义与符号

那么我们怎么得到 $\frac{22}{7}$ 和 $\frac{355}{113}$ 呢?难道就是用计算机算的吗?但是这两个分数不是祖冲之就发现了的吗?

实际上,我们也不知道祖冲之到底是如何得到的.但是我们的确有方法能够得到 $\pi$ 的分数逼近形式,并且能够推广到任何无理数,而我们需要用到的工具就是连分数.

我们写出 $\pi$ 的连分数形式:

$\begin{equation*} x = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{\cdots} } } } } \end{equation*}$

因此我们可以这么按照上面的格式来定义连分数,并且为了简单起见,我们用一个新的符号来表示:

定义1: 记

$\begin{equation*} [a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]:= a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\cdots} } } } \end{equation*},$

其中 $a_0$ 可以为任意整数,而 $a_1,a_2,\cdots$ 则要求为大于等于 $1$ 的正整数.

当然有限项也是可行的,并且由朴素的数学逻辑思维可知,当里面为有限项时,其对应的值为一个分数,也就是有理数.以下我们给出几个例子(有限项的例子大家可以自己试一试,对这个符号更熟悉一些):

$\quad$ 1. $\pi = [3;7,15,1,292,\cdots]$ (无理数对应了一个无限连分数)

$\quad$ 2. $[2;2,2,2,\cdots] = \sqrt{2}+1$ (无限连分数对应一个无理数)

$\quad$ 3. $[3;7] = \frac{22}{7}$ (有限连分数对应了一个有理数)

$\quad$ 4. $[3;7,15] = \frac{333}{106}$

$\quad$ 5. $[3;7,14,1] = \frac{333}{106}$

$\quad$ 6. $[3;7,15,1] = \frac{355}{113}$

$\quad$ 7. $[3;7,15,1,292] = \frac{103993}{33102}$

$\quad$ 8. $\frac{206}{7} = [29;2,2,1]$ (有理数对应有限连分数形式)

思考题又来喽!

$\quad$ 试着把 $\frac{18}{7}$ 写成连分数的形式(数学专业同学可以和带余除法比较一下,看有没有熟悉的感觉).

连分数与实数的关系

由上面的这些例子我们就得到了约率和密率,并且我们还能隐约找到一些规律,在这里我就直接给出其中的一些定理,感兴趣的可以去看看这个网站上的内容.[2]

定理1: 有理数和有限连分数是"一一对应"的(需要规定上述4和5中的连分数是同一个).

定理2: 无理数和无限连分数是一一对应的.

定理3(Lagrange定理): 循环无限连分数和二次无理数(即只有二次根号)是一一对应的(例如上述的2).

有一些无理数的连分数展开形式是比较容易的,例如 $\sqrt{2}+1$ , $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ (后者即为黄金比例,前者俗称白银比例,更多可见此处)[3],此处我们来展一下 $\sqrt{2}+1$ :

$\quad$ 注意到 $\alpha=\sqrt{2}+1$ 是方程 $x^2-2x-1=0$ 的解,于是有(熟悉一下我们刚刚的定义哦)

$\alpha=2+\frac{1}{\alpha}=[2;\alpha]$

$\quad$ 将右侧的 $\alpha$ 用一次上述的等式,即得到

$\begin{equation*} \alpha=2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\alpha}}=[2;2,\alpha] \end{equation*}$

$\quad$ 再重复将上面的 $\alpha$ 换成等式右侧后,我们最后得到了例子2里的格式,即

$\sqrt{2}+1=\alpha=[2;2,2,2,\cdots]$

思考题!启动!

$\quad$ 模仿 $\sqrt{2}+1$ 的连分数展开方式,试着将 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 展开为连分数形式.

无限连分数蕴含的一些大小关系

然后我们再来看看无限连分数和它的有限部分连分数的大小关系,我们这里也以 $\pi = [3;7,15,1,292,\cdots]$ 为例,其有限部分连分数依次为 $[3],[3;7],[3;7,15],[3;7,15,1],[3;7,15,1,292],\cdots$ .我们能够得到以下的大小排列关系:

$[3]<[3;7,15]<[3;7,15,1,292]<\cdots<\pi<\cdots<[3;7,15,1]<[3;7]$

写成分数形式即:

$3<\frac{333}{106}<\frac{103993}{33102}<\cdots<\pi<\cdots<\frac{355}{113}<\frac{22}{7}$

定义2: 若记 $[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]$ 的有限连分数 $[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]$ 化为分数形式 $\frac{p_n}{q_n}$ ,并且称之为第 $n$ 项逼近分数.

于是 $[a_0]=\frac{a_0}{1}$ ,即 $p_0=a_0,q_0=1$ , $[a_0;a_1]=\frac{a_0a_1+1}{a_1}$ ,即 $p_1=a_0a_1+1,q_1=a_1$ .*注意:[3;7,15]是偶数项逼近分数,虽然它括号里有3个数.*于是我们又有以下定理(证明仍可以见网站),建议结合上面 $\pi$ 的例子来理解:

定理4: $p_{n+1}=a_{n+1}p_n+p_{n-1},q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}$ (递推公式,想了又想还是贴上来了,毕竟是连分数里的基本定理)

定理5: $\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{(-1)^n}{q_{n+1}q_n}$ (即通分之后,分子只可能为 $\pm 1$ )

定理6: $\dfrac{p_{n+2}}{q_{n+2}}-\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{(-1)^na_{n+2}}{q_{n+2}q_n}$ (其实也就是上面的推论)

定理7: $\dfrac{p_0}{q_0}<\dfrac{p_2}{q_2}<\cdots$ ,以及 $\cdots<\dfrac{p_3}{q_3}<\dfrac{p_1}{q_1}$ (即偶数项逼近分数是严格递增的,而奇数项逼近分数是严格递减的)

已经是最后一批思考题了.

$\quad$ 1. 写出 $\pi=[3;7,15,1,292,\cdots]$ 中 $p_i,q_i(0\le i\le 4)$ 分别为多少( $p_i,q_i$ 的定义见定义2)?

$\quad$ 2. 利用定理5和定理7,试着证明数列 ${[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]}$ 的极限是存在的(这就是我给这篇文章打上极限tag的底气!!!).

$\quad$ 3. (数学系同学可以试试)只用定理4来证明定理5,定理6和定理7(能叫做『基本定理』的含金量!!!).

$\quad$ 4. (数学系同学可以试试)证明对任意 $n\ge 1$ ,都有 $(p_n,p_{n+1})=1,(q_n,q_{n+1})=1$ (根据定理5可以证明).

最优逼近以及辛钦常数

最后我们来解释一下,为什么在 $\pi$ 的连分数展开式中,竟然就包括了"约率"和"密率"这两个神奇的值.现在我们再引入两个概念,帮助我们更方便地理解原因(~~数学是这样的,只要引入概念就好了,学生需要考虑的事就多了~~):

定义3: $\frac{p}{q}$ 被称为 $x$ 的第一类最优逼近,如果对于任意 $a$ 为整数, $0<b\le q$ ,且 $\frac{a}{b}\neq\frac{p}{q}$ ,有 $|x-\frac{a}{b}|>|x-\frac{p}{q}|$ .

定义4: $\frac{p}{q}$ 被称为 $x$ 的第二类最优逼近,如果对于任意 $a$ 为整数, $0<b\le q$ ,且 $\frac{a}{b}\neq\frac{p}{q}$ ,有 $|bx-a|>|qx-p|$ ,即 $|x-\frac{a}{b}|>\frac{q}{b}|x-\frac{p}{q}|$ .

大白话就是:在分母不大于 $q$ 的所有分数里, $\frac{p}{q}$ 是最接近 $x$ 的,那它就是 $x$ 的第一类最优逼近,而第二类最优逼近比第一类最优逼近更强.

比如 $\frac{52163}{16604}$ 就是 $\pi$ 的第一类最优逼近,但不是第二类最优逼近(此处不证明了).而我们又有一下事实:

定理8: 若 $x$ 是无理数,其连分数展开为 $[a_0;a_1,a_2,\cdots]$ ,则每一个有限部分连分数 $[a_0;a_1,\cdots,a_n]$ 都是 $x$ 的第二类最优逼近,从而也是第一类最优逼近.

因此我们可以通过取无限连分数的有限部分连分数,从而用比较简单的有理数去最有效地逼近这个无理数.从而我们可以用 $\frac{355}{113}$ 去很好地逼近 $\pi$ ,而它在分母小于 $16000$ 都是最优的原因之一则是它的连分数展开式的下一项是 $292$ ,从而有这种很神奇的结果.

既然都看到这里了,那我不妨再加一点点(~~让我再讲五分钟!~~).定理3告诉我们,二次无理数的连分数展开式一定是循环的,而 $\pi$ 的连分数展开式则无规则许多,难道我们对它真的没有更深入的了解方法了吗?其实不是的,下面的事实反而更加揭示了 $\pi$ 这个数的神奇:

定理9(辛钦定理): 对几乎所有实数 $x$ (除有理数,实系数二次方程的解,以及自然常数 $\textrm{e}$ 等情况外),记 $x$ 的连分数展开式为 $[a_0;a_1,a_2,\cdots]$ ,则 $\lim_{n\to \infty}(\prod_{i=1}^n a_i)^{1/n}$ 趋近于一个常数 $K_0=2.685452\cdots$ ,现在称之为辛钦常数.[4]

定理中的"几乎所有",其实也是一个数学语言,常常出现在实变函数中.而 $\pi$ 是满足辛钦定理的!也就是说,虽然 $\pi$ 的连分数展开式是无规则的,但是我们取 $3,15,7,1,292,\cdots$ 的几何平均值却是趋近于一个与 $\pi$ 并无关系的常数.因此辛钦常数的存在肯定也是有很深刻的原因的,只可惜我们对它了解甚少.即使是最著名的无理数之一的 $\pi$ ,其身上也还有诸多谜题.

感谢你能够看到这里!越写越起劲,感觉成我自己个人的抄书报告了(虽然也确实是这么一回事).

参考资料

[1] 张景中.数学家的眼光.P8-P15

$\quad$ 这本书我觉得是挺值得一看的科普书,其中张景中是中国科学院院士,专业知识还是过硬的,肯定不是民科hhh.书中还有其它一些有意思的问题和想法,比如:

$\quad$ $x^3+ax^2+bx+c=0$ ,其中 $a,b,c$ 都是绝对值不大于 $10$ 的整数,先将有限小数 $\alpha=0.414214$ 代入得 $|\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c|<2\times10^{-6}$ ,那我们就可以确定 $\sqrt{2}-1=0.41421356\cdots$ 一定是该方程的解.(见P56)