引言

上一篇的连分数主要也只是一个科普内容,还有一些内容不便于放在上篇里边,于是加在本文中.

由于本文并不像上一篇那样会面向学高数的同学,因此本文不会那么通俗,而是会比较严肃一点.

Pell方程

形如的二元二次不定方程便称为佩尔(Pell)方程,其中为不含平方因子的正整数(毕竟我们要研究的是Pell方程的所有有理整数解).

最早碰到这个问题还是高中阶段,兜兜转转又要面对它了,而且还有可能出现在我初等数论的考试中😫.当初面对的还只是这种比较仁慈的Pell方程的解(恶心的下面马上就能见到了),但是我也只是计算机枚举法求出的几个特殊值,还是算法代师Anon Xau通过”神经网络深入学习”总结出来了递推公式orz.

但是!过去软糯的我已经死啦!现在是更软糯的我!拥有代数数论和连分数知识的我已经无往不利了!

利用代数数论的知识能够得到Pell方程解的结构,而利用连分数这个利器,求解这类一般的Pell方程已经成一个消磨时间的打趣罢了.

Pell方程解的结构

Dirichlet单位定理

在代数数论中,有如下事实:

定理1(Dirichlet单位定理): 设为次数域,到中有个实嵌入,有对复嵌入,则:
中单位群,其中是单位根群,是秩为的自由Abel群.

其中单位群是的可逆元的集合,而和就是定理中所说的含义.

并且由定理条件可知,存在元素,使得.且可知在上的极小多项式也一定是次多项式.所以在中有.于是到中的嵌入则由确定,即:

因此,若为实(复)数,则称为实(复)嵌入.

回到Pell方程,我们考虑实二次域,因此Pell方程的有理整数解即为中范数为的元素.而根据Dirichlet单位定理可知,实二次域的单位群(因为秩为),其中也被称作的基本单位(一般取大于的那个,毕竟只差正负号而已).

由于的结构与有着直接的关系,因此以下需要对不同的来讨论Pell方程的解的结构.

的情况

这种情况一般而言比较简单,因为.因此我们知道的形式.然后再根据取值是还是进行分类讨论即可.因此我们可以得到以下的定理(虽然感觉作为定理还不够强,但是无所谓了,反正在这里是由我做主!).

定理2: 当时,设是的基本单位,令.

(1) 如果:

a. 不存在有理整数解.

b. 的有理整数解为.

(2) 如果:

a. 的有理整数解为.

b. 的有理整数解为.

当然对于另一种情况也是类似的考虑,只不过需要多转一个弯而已,比起其他代数里面的”一个弯”,这个简直可以说是友好至极了🤠.

的情况

在这种情况下,,因此中的整数都只能表示为的形式.

从而是中的单位,等价于.

因此便有了和前一种情况的第一处不同,此处应该令,首先得到得到的也是的有理整数解的结构:

引理1: 当时,设是的基本单位,令.

(1) 如果:

a. 不存在有理整数解.

b. 的有理整数解为.

(2) 如果:

a. 的有理整数解为.

b. 的有理整数解为.

可以发现的是,该引理和定理2是高度相似的,也只有和构造方式上的一点点不同(而其他地方我甚至都是把定理2直接copy过来的).

因此,对于问题的有理整数解而言,现在也只差凌门一脚了.而这也是和前一种情况的第二处不同,即我们需要考虑基本单位中和的奇偶性(但两者奇偶性相同,因此讨论的情况也并不多).

定理3: 当时,设是的基本单位,令.

(1) 如果:

a. 不存在有理整数解.

. 如果,则:

的有理整数解为

. 如果,则:

的有理整数解为

(2) 如果:

. 如果,则:

的有理整数解为

. 如果,则:

的有理整数解为

. 如果,则:

的有理整数解为

. 如果,则:

的有理整数解为

这个定理看上去比较吓人,但实际上也确实比较吓人了.其中的操作实际上就是将消去,从而得到有理整数解.其实如果对代数数论的概念比较熟悉之后,以上两个定理都还是比较容易理解的了.

基本单位的大小估计

上面只得到了Pell方程解的结构,虽然已经可以通过手动改变的值,来找到的基本单位.但是有可能遇到以下情况:的基本单位为,这要一个一个一个一个去试可能真会趋势了.实际上还并不是最恶心的一个,才是,的基本单位是.

事实上,对该问题基本单位的上界的估计也是有一些结果的.而最后的估计式由华罗庚给出:

其中即为的regulator,即为的类数,故.(这些内容忘得差不多了😥,之后也写一篇才行!)

取,得到,即.因此对于确定基本单位的大小仍然是一个很复杂的课题.但是也有特殊情况,其基本单位很简单:

当无平方因子,则的基本单位为.

当无平方因子,则的基本单位为.

利用连分数求基本单位

与

在上一篇中介绍有定理,即:

定理4(Lagrange定理): 循环连分数和二次无理数是一一对应的.

在Fatfish提供的证明二中,引入了两个新的符号和,对我们后续的计算中更方便.以下直接记录下符号的意义,省去了推导过程.

设是一个无平方因子的正整数,它的连分数展开如下:

而也是循环连分数,从而也是二次无理数,实际上也和有关,即我们可以记:

当然,因为,我们也可以推出关于和的递推式.即:

但是看这推导式,不如不看.总之在最后计算基本单位的时候,我们也只是用到了连分数展开的第一个循环而已,因此手撕就差不多够了,即使是61这个数(Fermat自己说是比较人性化的选了个比较小的数).

例如:

通过这种暴力手撕的方式,我们也能够得到和的值了.但我们也只需要一个循环里的值就够了.

基本单位的确定

以下两个定理,能够说明Pell方程的有理整数解和连分数的渐近分数之间的关系:

定理5: 记,其中,则一定是的渐近分数.

定理6: 设的渐近分数为,则.即.

那么我们确定基本单位的方法基本上已经很明确了:

对于Pell方程而言(也是同样的方法):

先计算出的连分数展开和一个循环.

然后计算得到和的值.着重观察的是的情况,即范数等于的一个单位(而且就是基本单位).

然后利用定理2或者定理3得到Pell方程的所有解.

例如: 对于而言,发现,且.因此我们得到了一个范数为的基本单位,最后使用定理2即可.

最后来看一下Fermat所选取的两个比较人性化的数61和109到底有何特别之处,让我们先对和进行连分数展开:

这里展开的循环节足足11位!而还有糕手!109更是重量级!它的循环节有15位!

因此这两个数对应的Pell方程的超大的基本单位,就能从这两个连分数展开中窥见一斑.因此Fermat这个糟老头子信不了一点.🤬

从19号开始写到25号写完本文,而且最后连分数里边还有一些内容被我很快的跳过去了,比如Legender判别准则来判断渐近分数,Liouville超越数这种十分逼近有理数的数,以及太超前的辛钦定理.这些内容之后可以再回过头来看一看,还是很神奇的.

参考资料

[1] 冯克勤.代数数论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2018

参考第三章2.2节-实二次域的基本单位,Pell方程

[2] FatFish.连分数入门[Z]:超理论坛.https://chaoli.club/index.php/2756?see_lz=1

又是FatFish的帖子,主要参考3.2-Lagrange定理以及3.5-Pell方程