引言

最近得开始记录一下读书进度才行了,敦促一下自己的学习进度,否则就只能毙业了.😥

而我目前看的这本主要的参考资料则是: Sieve Methods by H.Halberstam & H.E.Richert

不知道是不是作者Richert是德国人的原因,这本书的文章风格和我之前读过的英文教材都不相同:直接长难句起手,一句话八九行,从句里套从句,词汇也及其考验我的积累,适合作为六级备考阅读资料.😭

但是与二潘的『哥德巴赫猜想』一书不同,其主要就是围绕陈景润的”1+2”定理(Chen’s Theorem)展开,而此书则是更加详细的介绍了各种筛法(Sieve methods)的发展与威力.即使只是看此书的intro部分,我就已经收获颇多,因此特意开新篇记录.而且此书每章节后的Notes,也是介绍了更高观点的一些成果与结论,也是能收获很多.但是二潘的书也是经典中的经典,我也要重点参考,并且下一篇大概就是二潘书中第一章的『特征与Gauss和』的内容.[2]

以及文中应该经常会出现一下用中文名词,一下用英文名词.这并不是写的时间有跨度,而是我比较随心所欲,可能为了简单啊或者为了强调啊,总之就是—-反正我能看懂就行.

Hypotheses &

在Intro部分的一开篇就让我开眼了,直接给出了孪生素数猜想和哥德巴赫猜想的推广,也就是Schinzel’s hypotheses.

首先再写一遍这著名的两个猜想:

孪生素数猜想:

There exist infinitely many primes such that is a prime.

哥德巴赫猜想:

Every even natural number greater than is sum of two primes.

而在1912年的国际数学家大会上,E.Landau列出了四个关于素数的基本问题,以上便是其中的两个,另外的两个也不是什么善茬:一个为:是否每两个完全平方数之间总有一个素数? 另一个为:是否存在无穷多个形式的素数? 因此这四个问题统称为Landau’s Problems.在此之上,Schinzel提出了两个更广义的猜想,将数论中很多重要的猜想以奇妙的方式统一了起来.

首先令都是上非常值的首项系数为正的不可约多项式(nonconstant irreducible polynomials over the integers with positive leading coefficients).记.我们称是的一个fixed divisor,如果有.

例如:
易知是的一个fixed prime divisor,即使不整除和.

于是Schinzel有猜想和:

Hypothesis :

Suppose that has no fixed divisor, then there exist infinitely many integers such that each is prime.

Hypothesis :

Let be a large natural number. And is a polynomial with positive leading coefficient over , such that is irreducible and F(N-G) has no fixed prime divisor.

Then there exists a positive integer such each of and is positive prime.

需要指出的是:将猜想挪到有限域上的多项式环则是不成立的,由Swan在1962年给出了反例.[3]

以及对于Schinzel’s Hypotheses,还有加强版的猜想,也就是Bateman-Horn conjecture,给出了和的定量形式猜想.[4]

:

Let be the number of in Hypothesis . Then

where , and

and is the number of solutions of

实际上,上述里的和国际数学家大会上对James Maynard工作的介绍里边的是一码事.

对的定量估计式则形式上有一些不同,它没有了积分式,但整体结构还是相似的,其实就是写成了离散的形式,不相似就出大问题了:

:

Let X=X(N) be the number of such that , and be the number of in Hypothesis . Then

where , and is the number of solutions of

各种猜想的统一形式

接下来就简单看一看Schinzel猜想是如何将解析数论中的若干个著名猜想统一起来的.

猜想下的情况

首先就是并且的情况,实际上这也是猜想和中唯一能够证明的情况,即也就是Dirichlet’s Theorem(1837).

:

(Dirichlet’s Theorem) The arithmetic progression contains infinitely many primes.

再考虑的情况,即得到了One of Landau’s Problems:

:

(Landau’s Problem) There exist infinitely many primes of the form .

以及当时的情况:

:

(Prime Twins Conjecture) There exist infinitely many primes such that is a prime.

猜想下的情况

猜想是哥德巴赫猜想的推广,事实上有:

:

(Goldbach’s Conjecture) Every even natural number greater than is sum of two primes.

成果与结论

以下的一些成果,让我们对Schinzel两个猜想的正确性抱有期待.当然首先便是猜想的特殊情况—-Dirichlet’s Theorem.这无疑是一个特别神奇的结论,并且随着学习的深入,其背后的深刻思想—-利用特征筛出公差为的子序列,也十分重要,而其想法与思路在二潘的『初等数论』上也有简单介绍.[5]

首先引入一个新的记号:,用于表示一个至多表示为个素数的乘积(any integer having at most prime factors, equal or distinct),称为是一个几乎素数(almost prime).毕竟有效的筛法比较难以筛选出prime,但是却相对容易地筛选出almost prime.

因此我们可以得到猜想的等价形式以及弱化形式:

Hypothesis is equivalent to:

for infinitely many positive integers

The weaker form of Hypothesis is:

for infinitely many positive integers

Where is a relatively small integer, depending at most on and .

实际上,在Chapter 10中,我们将证明对于弱化形式而言,其在相当大并且均为线性函数时,结论是成立的.并且在此书中,我们将一步步的证明以下更为具体并且熟悉的结论(在二潘的『哥德巴赫猜想』一书中的Intro部分实际上也有):

In Chapter 9:

for infinitely many positive integers .

In Chapter 10 to proof “” which (Selberg):

for infinitely many positive integers .

for some positive integers .

In Chapter 2 to proof “”(Rényi):

for infinitely many positive primes .

.

对于Rényi的结论,其实也没有跳脱猜想的五指山,并且反过来我们可以考虑猜想的一个特殊情况:

Considering the case of , :

If has no fixed divisor, then there are infinitely many primes such that each of is also prime.

i.e. for infinitely many primes .

And without a doubt, the weaker form is:

i.e. for infinitely many primes .

与之相关的重要结论是:

In Chapters 9 and 10:

for infinitely many primes .

In Chapter 9, 10 and 11:

for infinitely many primes .

引入almost prime的概念后,以及以上的这些重要结论,我们对『Schinzel的两个猜想正确』的把握越来越大(当然也是一种Bayes估计的方法论).以及对于素数猜想,目前也有新的强有力的工具,例如圆法和密率,其中维诺格拉多夫便用圆法与三角和证明了三素数定理(1937).并且在此书出版后,筛法仍然有一些惊艳的结果产生,但是却并没有机会出现在此书中,还是有一些遗憾的.例如:张益唐确定了有无穷对素数,其差小于7000万(2013),以及后续一系列的工作,其中也包括了2022年Fields奖得主James Maynard的工作.但是这也是好事,至少这还说明筛法仍有具有活力,并且仍然有着强大的威力.而我也有了一个可以写的论文方向

Intro里的筛法

实际上这一部分也是以介绍历史发展为主,而这些我在二潘的『哥德巴赫猜想』一书的Intro部分也看了一遍(具体细节还更详细一些),因此这一部分就不过多记录了.但也是可以记录一点的.

筛法的主要目的就是为了尽可能的确定的上下界,经典的例子便是Brun-Titchmarsh inequality.并且在Chapters 3-8都在考虑这个问题.

以及对于的渐近公式,例如有基本公式(in Chapters 2 and 7):

在此书Intro的筛法部分,主要提到的也是两个人的工作,其实这也是我要认真学的两种筛法思想.一个是Burn,张益唐的工作主要便是利用Brun’s sieve;另一个就是Selberg,他的加权的思想则为Chen,Zhang和Maynard的工作提供了很大的帮助.当然这些并不是此书的作者本人写的了,而是我自己初步搜集到的资料表现的,后面我也将详细去了解与学习.

总结

本文差不多就是记录至此,一天时间速记!但是后面还有很多内容需要学习了.现在也做一个简单的规划好了.

1. 『特征与Gauss和』的记录

这个争取三天内弄完吧,也只需要简单记录一下定理和个人的想法就好,应该花不了多少时间吧?.

2. 毫无疑问,我要马上开始圣经第一章的阅读

第一章从目录上看上去应该并没有很深入的内容,而是更偏向于一些概念的定义与解释.争取下周五内看完吧,在这过程中还能磨炼一下英语长难句分析的能力,挺好.😶然后周日前一样将学习内容记录到博客上来.

3. 学辅官网上的文章也要找时间更新了

目前有意思的几个想法都还没启动,可能有些可以让给别人来写,但我肯定还是得继续撰文了.目前一些有趣的点子有:Cesaro求和,Abel求和以及Dirichlet求和;多线性相关函数与行列式之间的联系;不可求长曲线的一些有趣性质…

参考资料

[1] Halberstam, Richert. Sieve Methods[M]. Dover Publications, 2011. P1-P11.

[2] 潘承洞, 潘承彪. 哥德巴赫猜想, 第二版[M]. 科学出版社, 2011. P15-P23.

[3] Schinzel’s hypothesis H. Wikipedia[Z]. https://en.wikipedia.org/wiki/Schinzel%27s_hypothesis_H, 23 Aug 2024.

[4] Bateman–Horn conjecture. Wikipedia[Z]. https://en.wikipedia.org/wiki/Bateman%E2%80%93Horn_conjecture, 21 May 2023.

[5] 潘承洞, 潘承彪. 初等数论, 第三版[M]. 北京大学出版社, 2013. P463-P464.