筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) -- intro of "筛法圣经"

引言

最近得开始记录一下读书进度才行了,敦促一下自己的学习进度,否则就只能毙业了.😥

而我目前看的这本主要的参考资料则是: Sieve Methods by H.Halberstam & H.E.Richert

不知道是不是作者Richert是德国人的原因,这本书的文章风格和我之前读过的英文教材都不相同:直接长难句起手,一句话八九行,从句里套从句,词汇也及其考验我的积累,~~适合作为六级备考阅读资料~~.😭

但是与二潘的『哥德巴赫猜想』一书不同,其主要就是围绕陈景润的"1+2"定理(Chen’s Theorem)展开,而此书则是更加详细的介绍了各种筛法(Sieve methods)的发展与威力.即使只是看此书的intro部分,我就已经收获颇多,因此特意开新篇记录.而且此书每章节后的Notes,也是介绍了更高观点的一些成果与结论,也是能收获很多.但是二潘的书也是经典中的经典,我也要重点参考,并且下一篇大概就是二潘书中第一章的『特征与Gauss和』的内容.[2]

以及文中应该经常会出现一下用中文名词,一下用英文名词.这并不是写的时间有跨度,而是~~我比较随心所欲,~~可能为了简单啊或者为了强调啊,总之就是----反正我能看懂就行.

Hypotheses & $\ H_N$

在Intro部分的一开篇就让我开眼了,直接给出了孪生素数猜想和哥德巴赫猜想的推广,也就是Schinzel’s hypotheses.

首先再写一遍这著名的两个猜想:

孪生素数猜想:

$\quad$ There exist infinitely many primes $p$ such that $p+2$ is a prime.

哥德巴赫猜想:

$\quad$ Every even natural number $N$ greater than $2$ is sum of two primes.

而在1912年的国际数学家大会上,E.Landau列出了四个关于素数的基本问题,以上便是其中的两个,另外的两个也不是什么善茬:一个为:是否每两个完全平方数之间总有一个素数? 另一个为:是否存在无穷多个 $n^2+1$ 形式的素数? 因此这四个问题统称为Landau’s Problems.在此之上,Schinzel提出了两个更广义的猜想,将数论中很多重要的猜想以奇妙的方式统一了起来.

首先令 $F_1, \cdots, F_g$ 都是 $\mathbb{Z}$ 上非常值的首项系数为正的不可约多项式(nonconstant irreducible polynomials over the integers with positive leading coefficients).记 $F=F_1F_2\cdots F_g$ .我们称 $m$ 是 $F$ 的一个fixed divisor,如果有 $m|F(n),\ \forall n\in\mathbb{Z}$ .

例如:
$\quad$ 易知 $2$ 是 $(x+1)(x+2)$ 的一个fixed prime divisor,即使 $2$ 不整除 $(x+1)$ 和 $(x+2)$ .

于是Schinzel有猜想 $H$ 和 $H_N$ :

Hypothesis $H$ :

$\quad$ Suppose that $F$ has no fixed divisor, then there exist infinitely many integers $n$ such that each $F_i(n)\ (i=1,2,\cdots,g)$ is prime.

Hypothesis $H_N$ :

$\quad$ Let $N$ be a large natural number. And $G$ is a polynomial with positive leading coefficient over $\mathbb{Z}$ , such that $N-G$ is irreducible and F(N-G) has no fixed prime divisor.

$\quad$ Then there exists a positive integer $n$ such each of $F_i(n)\ (i=1,2,\cdots,g)$ and $N-G(n)$ is positive prime.

需要指出的是:将猜想挪到有限域上的多项式环则是不成立的,由Swan在1962年给出了反例.[3]

以及对于Schinzel’s Hypotheses,还有加强版的猜想,也就是Bateman-Horn conjecture,给出了 $H$ 和 $H_N$ 的定量形式猜想.[4]

$H^*$ :

$\quad$ Let $Q(F_1,\cdots,F_g;N)$ be the number of $n$ in Hypothesis $H$ . Then

$Q(F_1,\cdots,F_g;N)=\dfrac{C(F_1,\cdots,F_g)}{h_1\cdots h_g}\int_2^N \dfrac{du}{\log^g u}\{1+o(1)\},\ N\to \infty$

$\quad$ where $h_i=\deg F_i$ , and

$C(F_1,\cdots,F_g)=\prod\limits_p \left\{\left(1-\dfrac{1}{p}\right)^{-g}\left(1-\dfrac{\rho(p)}{p}\right) \right\}$

$\quad$ and $\rho(p)$ is the number of solutions of

$F_1(n)F_2(n)\cdots F_g(n)\equiv 0\mod{p}$

实际上,上述里的 $C(F_1,\cdots,F_g)$ 和国际数学家大会上对James Maynard工作的介绍里边的 $\mathfrak{S}(F_1,\cdots,F_g)$ 是一码事.

对 $H_N$ 的定量估计式则形式上有一些不同,它没有了积分式,但整体结构还是相似的,~~其实就是写成了离散的形式,不相似就出大问题了~~:

$H_N^*$ :

$\quad$ Let X=X(N) be the number of $n$ such that $N-G(n)>0$ , and $Q_1(F_1,\cdots,F_g;G;N)$ be the number of $n$ in Hypothesis $H_N$ . Then

$\begin{align*} Q_1(F_1,\cdots,F_g;G;& N) = \dfrac{X}{\log^{g+1} X}(h_0h_1\cdots h_g)^{-1}\{1+o(1)\} \\ & \prod\limits_p \left\{\left(1-\dfrac{1}{p}\right)^{-g-1}\left(1-\dfrac{\omega(p)}{p}\right) \right\},\ N\to\infty \end{align*}$

$\quad$ where $h_0 = \deg G$ , and $\omega(p)$ is the number of solutions of

$F_1(n)\cdots F_g(n)(N-G(n))\equiv 0\mod{p}$

各种猜想的统一形式

接下来就简单看一看Schinzel猜想是如何将解析数论中的若干个著名猜想统一起来的.

$H$ 猜想下的情况

首先就是 $g=1$ 并且 $F_1(n)=an+b,\ (a,b)=1$ 的情况,实际上这也是猜想 $H$ 和 $H_N$ 中唯一能够证明的情况,即也就是Dirichlet’s Theorem(1837).

$g=1,\ F_1(n)=an+b,\ (a,b)=1$ :

$\quad$ (Dirichlet’s Theorem) The arithmetic progression $an+b\ (n=0,1,\cdots)$ contains infinitely many primes.

再考虑 $F_1(n)=n^2+1$ 的情况,即得到了One of Landau’s Problems:

$g=1,\ F_1(n)=n^2+1$ :

$\quad$ (Landau’s Problem) There exist infinitely many primes of the form $n^2+1$ .

以及当 $g=2,\ F_1(n)=n,\ F_2(n)=n+2$ 时的情况:

$g=2,\ F_1(n)=n,\ F_2(n)=n+2$ :

$\quad$ (Prime Twins Conjecture) There exist infinitely many primes $p$ such that $p+2$ is a prime.

$H_N$ 猜想下的情况

$H_N$ 猜想是哥德巴赫猜想的推广,事实上有:

$g=1,\ F_1(n)=n,\ G(n)=n$ :

$\quad$ (Goldbach’s Conjecture) Every even natural number $N$ greater than $2$ is sum of two primes.

成果与结论

以下的一些成果,让我们对Schinzel两个猜想的正确性抱有期待.当然首先便是猜想 $H$ 的特殊情况----Dirichlet’s Theorem.这无疑是一个特别神奇的结论,并且随着学习的深入,其背后的深刻思想----利用特征筛出公差为 $q$ 的子序列,也十分重要,而其想法与思路在二潘的『初等数论』上也有简单介绍.[5]

首先引入一个新的记号: $P_r$ ,用于表示一个至多表示为 $r$ 个素数的乘积(any integer having at most $r$ prime factors, equal or distinct),称为是一个几乎素数(almost prime).毕竟有效的筛法比较难以筛选出prime,但是却相对容易地筛选出almost prime.

因此我们可以得到猜想 $H$ 的等价形式以及弱化形式:

Hypothesis $H$ is equivalent to:
for infinitely many positive integers
The weaker form of Hypothesis $H$ is:
for infinitely many positive integers
Where $r$ is a relatively small integer, depending at most on $g$ and $\deg(F)$ .

实际上,在Chapter 10中,我们将证明对于弱化形式而言,其在 $g$ 相当大并且 $F_i$ 均为线性函数时,结论是成立的.并且在此书中,我们将一步步的证明以下更为具体并且熟悉的结论(在二潘的『哥德巴赫猜想』一书中的Intro部分实际上也有):

In Chapter 9:

$\quad$ $n^2+1=P_3$ for infinitely many positive integers $n$ .

In Chapter 10 to proof “ $a+b$ ” which $a+b=5$ (Selberg):

$\quad$ $n(n+2)=P_5$ for infinitely many positive integers $n$ .

$\quad$ $n(N-n)=P_5$ for some positive integers $n<N$ .

In Chapter 2 to proof “ $1+r$ ”(Rényi):

$\quad$ $p+2=P_r$ for infinitely many positive primes $p$ .

$\quad$ $N=p+P_r$ .

对于Rényi的结论 $p+2=P_r$ ,其实也没有跳脱猜想 $H$ 的五指山,并且反过来我们可以考虑猜想 $H$ 的一个特殊情况:

Considering the case of $g+1$ , $F_{g+1}=n$ :

$\quad$ If $F_1(n)\cdots F_g(n)\cdot n$ has no fixed divisor, then there are infinitely many primes $p$ such that each of $F_i(p)$ is also prime.

$\quad$ i.e. $F_1(p)\cdots F_g(p)=P_g$ for infinitely many primes $p$ .

And without a doubt, the weaker form is:

$\quad$ i.e. $F_1(p)\cdots F_g(p)=P_r$ for infinitely many primes $p$ .

与之相关的重要结论是:

In Chapters 9 and 10:

$\quad$ $p^2+p+1=p_5$ for infinitely many primes $p$ .

In Chapter 9, 10 and 11:

$\quad$ $(p+2)(p+6)(p+8)=p_{14}$ for infinitely many primes $p$ .

引入almost prime的概念后,以及以上的这些重要结论,我们对『Schinzel的两个猜想正确』的把握越来越大(当然也是一种Bayes估计的方法论).以及对于素数猜想,目前也有新的强有力的工具,例如圆法和密率,其中维诺格拉多夫便用圆法与三角和证明了三素数定理(1937).并且在此书出版后,筛法仍然有一些惊艳的结果产生,但是却并没有机会出现在此书中,还是有一些遗憾的.例如:张益唐确定了有无穷对素数,其差小于7000万(2013),以及后续一系列的工作,其中也包括了2022年Fields奖得主James Maynard的工作.但是这也是好事,至少这还说明筛法仍有具有活力,并且仍然有着强大的威力.~~而我也有了一个可以写的论文方向~~

Intro里的筛法

实际上这一部分也是以介绍历史发展为主,而这些我在二潘的『哥德巴赫猜想』一书的Intro部分也看了一遍(具体细节还更详细一些),因此这一部分就不过多记录了.但也是可以记录一点的.

筛法的主要目的就是为了尽可能的确定 $S(\mathscr{A};\mathfrak{P},z)$ 的上下界,经典的例子便是Brun-Titchmarsh inequality.并且在Chapters 3-8都在考虑这个问题.

以及对于 $S(\mathscr{A};\mathfrak{P},z)$ 的渐近公式,例如有基本公式(in Chapters 2 and 7):

$\dfrac{\log |\mathscr{A}|}{\log z}\to \infty$

在此书Intro的筛法部分,主要提到的也是两个人的工作,其实这也是我要认真学的两种筛法思想.一个是Burn,张益唐的工作主要便是利用Brun’s sieve;另一个就是Selberg,他的加权的思想则为Chen,Zhang和Maynard的工作提供了很大的帮助.当然这些并不是此书的作者本人写的了,而是我自己初步搜集到的资料表现的,后面我也将详细去了解与学习.