筛法读书笔记(哥德巴赫猜想 by 潘承洞) -- 特征与Gauss和

引言

这一篇博客将记录一些我读『哥德巴赫猜想』第一章内容的一些知识点.大概可能应该只是抄一些定理命题(~~数学类博客的通病~~),以及一些自己的片面见解,(~~但是有可能会出错~~).但是如果在后面的学习中发现有错误或者是新的领悟,我还是会在这边做补充修改的.不会直接修改,而是保留我原来的想法.

本文的主要参考资料为: 哥德巴赫猜想,第二版 by 潘承洞 & 潘承彪

第一章可以说也是性质的罗列,但是我基本上也都是跟着证明了一遍.其中模 $q$ 特征的构造我还是主要参考二潘的『初等数论』,这里边对特征的构造更详细一些,但我应该也是会拆掉脚手架,直接摆一个让人莫名其妙的构造式了.(混沌邪恶!😈)

虽然说本文将只是知识点的罗列,但感觉最后的篇幅应该也不会短,只希望一篇能够解决就行.后续我觉得也不应该是学完一章才更一次博客,而是每周定时更新一次更好.

特征的定义

此处直接给出模 $q$ 特征的表达式,详细的推导过程见参考资料[2].但是定义还是得写一遍:

定义1: 设 $q\ge 1$ ,而 $\chi(n)$ 是定义在 $\mathbb{Z}$ 上的不恒为 $0$ 的算术函数.则称 $\chi(n)$ 为模 $q$ 的Dirichlet特征,记作 $\chi_q$ 或者 $\chi(n;q)$ 或者 $\chi\ \textrm{mod}\ q$ ,如果满足以下条件:

$\quad$ (1) $\chi(n)=0$ ,若 $(n,q)>1$ ;

$\quad$ (2) $\chi(n+q)=0,\ \forall n\in \mathbb{Z}$ ;

$\quad$ (3) $\chi(mn)=\chi(m)\chi(n),\ \forall m,n\in \mathbb{Z}$ .

以上的确是给出了特征的定义,但是还没有具体的取值.但是在考虑那之前,我们先考虑以下模 $q$ 的乘法群的结构.记 $q=2^l p_1^{l_1} \cdots p_s^{l_s}$ ,则可以知道乘法群 $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*$ 的结构(此处先考虑 $\ l\ge 2$ ):

$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^* \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2^{l-2}\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/\varphi(p_1^{l_1})\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/\varphi(p_s^{l^s})\mathbb{Z}$

$n \mapsto (\gamma_{-1}(n),\gamma_{0}(n),\gamma_{1}(n),\cdots,\gamma_{s}(n))$

$\quad$ 其中 $\varphi$ 便是Euler函数, $\gamma$ 表示的是映射后的元素在该循环群里的阶(order).而这个在后面 $\chi$ 的表达式中很重要.

注意到 $(\mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z})^* \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2^{l-2}\mathbb{Z}$ .因此模 $2^l$ 的乘法群可能需要两个生成元(实际上可由 $\overline{1}$ 和 $\overline{5}$ 生成).

并且Dirichlet character与群表示论中的representation也有联系(而不是群表示论中的character😉).

$\quad$ 可知群表示论里的representation是如下的同态:

$\rho: (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^* \to \mathbb{C}^*$

$\quad$ 因此我们将 $\rho$ 周期延拓到 $\mathbb{Z}$ 上,并且在未定义的地方令其值等于 $0$ .则我们其实便得到了一个模 $q$ 的Dirichlet特征.而反过来每一个Dirichlet特征都可以对应一个 $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*$ 上的representation.

最后,在以上的铺垫后,其实便也可以得到了 $\chi$ 具体的表达式.先记: $c_{-1}= \left\{\begin{array}{ll} 1, & l=1,\\ 2, & l\ge 2,\end{array}\right.$ $\ c_0= \left\{\begin{array}{ll} 1, & l=1,\\ 2^{l-2}, & l\ge 2,\end{array}\right.$ $c_j=\varphi(p_j^{l_j})$ .以及 $\gamma$ 为循环群中的阶.则:

定义2: 若 $q=2^l p_1^{l_1} \cdots p_s^{l_s}$ ,则模 $q$ 特征的表达式为:

$\chi(n;q)= \left\{\begin{array}{ll} \textrm{e}\left(\dfrac{m_{-1}\gamma_{-1}}{c_{-1}}\right) \textrm{e}\left(\dfrac{m_0\gamma_0}{c_0}\right) \cdots \textrm{e}\left(\dfrac{m_s\gamma_s}{c_s}\right) & (n,q)=1\ \\ 0 & (n,q)>1\ \end{array}\right.$

$\quad$ 其中 $\textrm{e}(z)=\textrm{e}^{2\pi i\cdot z}$ ,而 $m_j\ (j=-1,0,\cdots,s)$ 是可以任意取值的整数.

实际上 $m_j$ 的有效取值也就是 $1,2,\cdots,c_j$ .因此我们可以知道,所有 $\chi\ \textrm{mod}\ q$ 的个数为 $\varphi(q)$ .

主特征与原特征

在特征中,我们更关注的是以下两类特征,即主特征(principle character)与原特征(primitive character),其分别对应的则是平凡表示以及~~不可约表示~~最小的限制表示(毕竟不可约还是针对于 $GL_n(V)$ 中 $V$ 的维数,放在此处还是不太严谨).接下来给出两者的明确定义:

定义3(主特征): 称 $\chi_q$ 是主特征,记作 $\chi_q^0$ ,即:

$\chi_q^0(n)= \left\{\begin{align*} & 1, & (n,q)=1,\\ & 0, & (n,q)>1.\end{align*}\right.$

主特征这个东西看上去很简单,感觉并不会有什么有意思的东西(一开始我也是这么认为的),但是在原特征和Gauss sum中,它的作用也是不平凡的.以及它还是连接模 $q$ 既约剩余类和模 $q$ 全体特征的桥梁.

定义4(原特征):

$\quad$ 称 $\chi_q$ 是原特征,如果满足: $\forall d<q,\ d|q,\ \exists n_0\equiv 1\ \textrm{mod}\ q,\ (n_0,q)=1$ ,使得 $\chi_q(n_0)\neq 1$ .

例如:

$\quad$ 若 $\chi_8(1)=1,\ \chi_8(3)=1,\ \chi_8(5)=-1,\ \chi_8(7)=-1$ .则 $\chi_8$ 便是一个模8的原特征.

但是从非原特征的角度,我们就更能够理解为什么说原特征对应的是~~不可约表示~~最小的限制表示了.

命题0:

$\quad$ 若 $\chi_q$ 不是原特征,则 $\exists q'<q,\ \forall n_1\equiv n_2\ \textrm{mod}\ q',$ 使得 $\chi_q(n_1)=\chi_q(n_2)$ .

$\quad$ 而且其必然对应一个唯一的原特征 $\chi_{q^*}^*$ .记作: $\chi_q\Leftrightarrow\chi_{q^*}^*$ .

例如:

$\quad$ 若 $\chi_8(1)=1,\ \chi_8(3)=-1,\ \chi_8(5)=1,\ \chi_8(7)=-1$ .则 $\chi_8$ 不是一个模8的原特征.

$\quad$ 而其对应的原特征为 $\chi_4^*(1)=1,\ \chi_4^*(3)=-1$ .

在非原特征 $\chi_q$ 和与之对应的原特征 $\chi_{q^*}^*$ 之间,有着一下很重要的关系,将在Gauss sum中有着重要的作用:

让 $q_1$ 为与 $q^*$ 有相同的素因子,并且是 $q$ 的最大整除数.即满足以下条件:

$p|q_1 \Rightarrow p|q^*,\ q_1|q,\ (q/q_1, q^*)=1$

(本来不想用这个的,因为初看确实一头雾水,但是想要严谨说明就是这样子了😫)

再记 $q_2=q/q_1$ ,于是很容易验证可知:

命题1:

$\chi_q(n)=\chi_{q_1}(n)\chi_{q_2}^0(n)=\chi_{q^*}^*(n)\chi_{q_2}^0(n)$

最后以一个命题结束这一部分的记录:

命题2: 若 $\chi_q$ 是一个实的原特征,则 $q=2^lp_1\cdots p_s$ .

关于特征的两个重要定理

以下的两个结论体现了模 $q$ 既约剩余类和模 $q$ 全体特征之间的对偶关系.同时也体现出了特征在解析数论中的重要意义,以及它称之为『特征函数』的原因.而证明过程其实就是分组求和,比较繁琐,但是结论却很优美.

定理1: 设 $q\ge 1$ , $\chi$ 是一个模 $q$ 的特征.则:

${\sum_{n\ \textrm{mod}\ q}}'\chi(n) = \left\{\begin{align*} & \varphi(q), & \chi=\chi^0\ \textrm{mod}\ q, \\ & 0, & \chi\neq\chi^0\ \textrm{mod}\ q. \end{align*}\right.$

$\quad$ 其中, ${\sum\limits_{n\ \textrm{mod}\ q}}'$ 表示的含义是 $\sum\limits_{\substack{n=1 \\ (n,q)=1}}^q$ .

以下定理更是在Dirichlet定理的证明中发挥重要作用:

定理2: 设 $q\ge 1$ ,则:

$\sum_{\chi\ \textrm{mod}\ q}\chi(n) = \left\{\begin{align*} & \varphi(q), & n\equiv 1\ \textrm{mod}\ q, \\ & 0, & n\not\equiv 1\ \textrm{mod}\ q. \end{align*}\right.$

$\quad$ 以及可以有以下更一般的推论:

$\sum_{\chi\ \textrm{mod}\ q}\overline{\chi}(a)\chi(n) = \left\{\begin{align*} & \varphi(q), & n\equiv a\ \textrm{mod}\ q, \\ & 0, & n\not\equiv a\ \textrm{mod}\ q. \end{align*}\right.$

Gauss sum以及两种特殊情况

首先,定义Gauss sum如下:

定义5(Gauss sum): 设 $\chi(n)$ 是模 $q$ 的特征, $m$ 为一个整数,称

$G_{\chi}(m)=\sum_{h=1}^q \chi(h)\textrm{e}\left(\dfrac{mh}{q}\right)$

$\quad$ 为关于特征 $\chi$ 的Gauss sum.

而关于Gauss sum有如下的重要定理,基本上可以说是以下所有定理和命题的起点,它为特征的分解提供了理论依据.而关于Gauss sum的证明思路基本上都是分组后再算.首先先是关于Gauss sum的一些简单易证的性质:

定理3:

$\quad$ (1) $G_{\chi}(m_1)=G_{\chi}(m_2)$ ,若 $m_1\equiv m_2\ \textrm{mod}\ q$ .

$\quad$ (2) $G_{\chi}(-m)=\chi(-1)G_{\chi}(m)$ .

$\quad$ (3) $G_{\overline{\chi}}(m)=\chi(-1)\overline{G_{\chi}(m)}$ .

$\quad$ (4) $G_{\chi}(m)=\overline{\chi}(m)G_{\chi}(1)$ ,若 $(m,q)=1$ .(但是对于 $m$ 和 $q$ 不互素的情况则复杂很多,定理7和定理8都在讨论这种情况).

以及下面的定理给Gauss sum的分解提供了理论基础.然后再结合命题1有奇效,尤其是定理6的证明.

定理4: 如果 $q=q_1q_2$ 且 $(q_1,q_2)=1$ ,则

$G_{\chi}(m)=\chi_1(q_2)\chi_2(q_1)G_{\chi_1}(m)G_{\chi_2}(m)$

特殊形式1 – $\ C_q(m)$

当考虑主特征的Gauss sum,即 $G_{\chi_q^0}$ 的时候,我们便得到了Gauss sum的第一种特殊形式,简记为 $C_q(m)$ .即:

$C_q(m)=\sum_{\substack{h=1 \\ (h,q)=1}}^q \textrm{e}\left(\dfrac{mh}{q}\right)$

$C_q(m)$ 是关于 $q$ 的积性函数,即 $C_{q_1 q_2}(m)=C_{q_1}(m)C_{q_2}(m)$ ,以及对于 $C_q(m)$ 有如下结论:

定理5: 若 $p$ 是素数, $l\ge 1$ ,则:

$C_{q^l}(m)=\left\{\begin{align*} & p^l-p^{l-1}, & p^l|m, \\ & -p^{l-1}, & p^{l-1}||m, \\ & 0, & p^{l-1}\not\mid m, \\ \end{align*}\right.$

$\quad$ 容易验证其就等于:

$C_{p^l}(m)=\mu\left(\dfrac{p^l}{(m,p^l)}\right)\varphi(p^l)\varphi^{-1}\left(\dfrac{p^l}{(m,p^l)}\right)$

$\quad$ 其中 $\mu$ 是Mobius函数.在由于 $C_q,\ \varphi,\ \mu$ 积性的性质,便可得到一般情况下的结论:

$C_{q}(m)=\mu\left(\dfrac{q}{(m,q)}\right)\varphi(q)\varphi^{-1}\left(\dfrac{q}{(m,q)}\right)$

当考虑 $(m,q)=1$ 时,上述的结论更简单易记,因此便得到下面的推论:

推论1: 当 $(m,q)=1$ 时,有 $C_q(m)=\mu(q)$ .

$\quad$ 事实上,直接根据定理3的(4)还可以得到, $C_q(m)=C_q(1)=\tau(\chi^0)$ .

上面的结论也得到了在 $(m,q)=1$ 的情况下,这两种特殊形式之间的联系.

特殊形式2 – $\ \tau(\chi)$

其次,当我们让 $m=1$ 时,这便得到了Gauss sum的第二种特殊形式,简记为 $\tau(\chi)$ ,即:

$\tau(\chi)=\sum_{h=1}^q \chi(h)\textrm{e}\left(\dfrac{h}{q}\right)$

接下来的三个定理将说明原特征的重要意义,以及 $\tau(\chi^*)$ 的中心地位.

首先便是 $\tau(\chi)$ 都可以转换为对 $\tau(\chi^*)$ 的讨论.

定理6: 若 $\chi_q \Leftrightarrow \chi_{q^*}^*$ ,则

$\tau(\chi)=\chi^* \left(\dfrac{q}{q^*}\right) \mu \left(\dfrac{q}{q^*}\right) \tau(\chi^*)$

正如前面对定理4的说明一样,可以知道的是 $\tau(\chi)=\chi_{q^*}^*(q_2)\mu(q_2)\tau(\chi_{q_1})$ ,接着再证明原特征的一个性质即可.

$\tau(\chi_{q_1})=\left\{\begin{align*} & \tau(\chi_{q^*}^*), & q_1=q^*, \\ & 0, & q_1\neq q^*. \end{align*}\right.$

而接下来的两个定理,都是围绕定理3的(4)展开的,也就是问:如果 $(m,q)>1$ ,那么还有 $G_{\chi}(m)=\overline{\chi}(m)\tau(\chi)$ 成立吗?这样我们就只需要考虑 $\tau(\chi)$ 的性质了.

但是上面的这个结论其实只对原特征成立(原特征的重要地位再次体现!),但是由于定理6的存在,对于非原特征也还是可以转化为前者的情况(原特征!!!yyds!!!).因此我们实际上只需要考虑的是 $\tau(\chi*)$ 的性质.

定理7: 设 $\chi$ 是原特征,则当 $(m,q)>1$ 时,总有 $G_{\chi}(m)=0$ 成立.

$\quad$ 即当 $\chi$ 为原特征时,有:

$G_{\chi}(m)=\overline{\chi}(m)\tau(\chi)$

但是当 $\chi$ 为非原特征的时候,这时候的结论就特别恐怖了,但其实循规蹈矩,慢慢磨就行,因为思路还是很清楚的.

定理8: 设 $\chi_q$ 为非原特征,而 $\chi_q\Leftrightarrow\chi_{q^*}^*$ ,在 $(m,q)>1$ 时,有

$\quad$ 若 $q^\ast=\dfrac{q_1}{(m,q_1)}$ ,则

$G_{\chi}(m) = \overline{\chi}^\ast\left(\dfrac{m}{(m,q)}\right) \chi^\ast\left(\dfrac{m}{q^\ast(m,q)}\right) \mu\left(\dfrac{m}{q^\ast(m,q)}\right) \varphi(q) \varphi^{-1}\left(\dfrac{m}{(m,q)}\right) \tau(\chi^\ast)$

$\quad$ 若 $q^\ast\neq\dfrac{q_1}{(m,q_1)}$ ,则

$G_{\chi}(m)=0$