引言

这一篇博客将记录一些我读『哥德巴赫猜想』第一章内容的一些知识点.大概可能应该只是抄一些定理命题(数学类博客的通病),以及一些自己的片面见解,(但是有可能会出错).但是如果在后面的学习中发现有错误或者是新的领悟,我还是会在这边做补充修改的.不会直接修改,而是保留我原来的想法.

本文的主要参考资料为: 哥德巴赫猜想,第二版 by 潘承洞 & 潘承彪

第一章可以说也是性质的罗列,但是我基本上也都是跟着证明了一遍.其中模特征的构造我还是主要参考二潘的『初等数论』,这里边对特征的构造更详细一些,但我应该也是会拆掉脚手架,直接摆一个让人莫名其妙的构造式了.(混沌邪恶!😈)

虽然说本文将只是知识点的罗列,但感觉最后的篇幅应该也不会短,只希望一篇能够解决就行.后续我觉得也不应该是学完一章才更一次博客,而是每周定时更新一次更好.

特征的定义

此处直接给出模特征的表达式,详细的推导过程见参考资料[2].但是定义还是得写一遍:

定义1: 设,而是定义在上的不恒为的算术函数.则称为模的Dirichlet特征,记作或者或者,如果满足以下条件:

(1) ,若;

(2) ;

(3) .

以上的确是给出了特征的定义,但是还没有具体的取值.但是在考虑那之前,我们先考虑以下模的乘法群的结构.记,则可以知道乘法群的结构(此处先考虑):

其中便是Euler函数,表示的是映射后的元素在该循环群里的阶(order).而这个在后面的表达式中很重要.

注意到.因此模的乘法群可能需要两个生成元(实际上可由和生成).

并且Dirichlet character与群表示论中的representation也有联系(而不是群表示论中的character😉).

可知群表示论里的representation是如下的同态:

因此我们将周期延拓到上,并且在未定义的地方令其值等于.则我们其实便得到了一个模的Dirichlet特征.而反过来每一个Dirichlet特征都可以对应一个上的representation.

最后,在以上的铺垫后,其实便也可以得到了具体的表达式.先记: .以及为循环群中的阶.则:

定义2: 若,则模特征的表达式为:

其中,而是可以任意取值的整数.

实际上的有效取值也就是.因此我们可以知道,所有的个数为.

主特征与原特征

在特征中,我们更关注的是以下两类特征,即主特征(principle character)与原特征(primitive character),其分别对应的则是平凡表示以及不可约表示最小的限制表示(毕竟不可约还是针对于中的维数,放在此处还是不太严谨).接下来给出两者的明确定义:

定义3(主特征): 称是主特征,记作,即:

主特征这个东西看上去很简单,感觉并不会有什么有意思的东西(一开始我也是这么认为的),但是在原特征和Gauss sum中,它的作用也是不平凡的.以及它还是连接模既约剩余类和模全体特征的桥梁.

定义4(原特征):

称是原特征,如果满足:,使得.

例如:

若.则便是一个模8的原特征.

但是从非原特征的角度,我们就更能够理解为什么说原特征对应的是不可约表示最小的限制表示了.

命题0:

若不是原特征,则使得.

而且其必然对应一个唯一的原特征.记作:.

例如:

若.则不是一个模8的原特征.

而其对应的原特征为.

在非原特征和与之对应的原特征之间,有着一下很重要的关系,将在Gauss sum中有着重要的作用:

让为与有相同的素因子,并且是的最大整除数.即满足以下条件:

(本来不想用这个的,因为初看确实一头雾水,但是想要严谨说明就是这样子了😫)

再记,于是很容易验证可知:

命题1:

最后以一个命题结束这一部分的记录:

命题2: 若是一个实的原特征,则.

关于特征的两个重要定理

以下的两个结论体现了模既约剩余类和模全体特征之间的对偶关系.同时也体现出了特征在解析数论中的重要意义,以及它称之为『特征函数』的原因.而证明过程其实就是分组求和,比较繁琐,但是结论却很优美.

定理1: 设,是一个模的特征.则:

其中,表示的含义是.

以下定理更是在Dirichlet定理的证明中发挥重要作用:

定理2: 设,则:

以及可以有以下更一般的推论:

Gauss sum以及两种特殊情况

首先,定义Gauss sum如下:

定义5(Gauss sum): 设是模的特征,为一个整数,称

为关于特征的Gauss sum.

而关于Gauss sum有如下的重要定理,基本上可以说是以下所有定理和命题的起点,它为特征的分解提供了理论依据.而关于Gauss sum的证明思路基本上都是分组后再算.首先先是关于Gauss sum的一些简单易证的性质:

定理3:

(1) ,若.

(2) .

(3) .

(4) ,若.(但是对于和不互素的情况则复杂很多,定理7和定理8都在讨论这种情况).

以及下面的定理给Gauss sum的分解提供了理论基础.然后再结合命题1有奇效,尤其是定理6的证明.

定理4: 如果且,则

特殊形式1 –

当考虑主特征的Gauss sum,即的时候,我们便得到了Gauss sum的第一种特殊形式,简记为.即:

是关于的积性函数,即,以及对于有如下结论:

定理5: 若是素数,,则:

容易验证其就等于:

其中是Mobius函数.在由于积性的性质,便可得到一般情况下的结论:

当考虑时,上述的结论更简单易记,因此便得到下面的推论:

推论1: 当时,有.

事实上,直接根据定理3的(4)还可以得到,.

上面的结论也得到了在的情况下,这两种特殊形式之间的联系.

特殊形式2 –

其次,当我们让时,这便得到了Gauss sum的第二种特殊形式,简记为,即:

接下来的三个定理将说明原特征的重要意义,以及的中心地位.

首先便是都可以转换为对的讨论.

定理6: 若,则

正如前面对定理4的说明一样,可以知道的是,接着再证明原特征的一个性质即可.

而接下来的两个定理,都是围绕定理3的(4)展开的,也就是问:如果,那么还有成立吗?这样我们就只需要考虑的性质了.

但是上面的这个结论其实只对原特征成立(原特征的重要地位再次体现!),但是由于定理6的存在,对于非原特征也还是可以转化为前者的情况(原特征!!!yyds!!!).因此我们实际上只需要考虑的是的性质.

定理7: 设是原特征,则当时,总有成立.

即当为原特征时,有:

但是当为非原特征的时候,这时候的结论就特别恐怖了,但其实循规蹈矩,慢慢磨就行,因为思路还是很清楚的.

定理8: 设为非原特征,而,在时,有

若,则

若,则

如果想把时的情况写地简单一点,即一个稍微短一点的中间式,那也是可以的(虽然也看不出有简单到哪里去🤣).即有:

显然根据上面三个定理,我们也已经能够发现在为原特征时,研究的重要意义.而我们也还是有以下的一个定理,稍微展示了的结构.

定理9: 若是原特征,则可知:

于是再结合定理6便可以得到以下推论:

推论2: 对任意一个模的特征(不一定是原特征),则:

总结

关于『特征与Gauss和』的内容就记录至此了,其实内容还是蛮多的,虽然基本上没有记录任何证明过程,但是毕竟也还是加入了很多我个人的理解(还不一定都是对的).总之这一块任务已经解决完毕了,接下来也要开始下一项的任务了–圣经第一章!

以及还有一些内容可能也得总结记录一下.比如:

1. 代数数论中的regulator以及类数的内容,尤其是类数,还是代数数论中的重要研究对象.

2. 交换代数的内容,这个在代数几何课上也频繁地用到这边的结论,但我只是简单地掠过,没有做过多少习题,还是很吃力的.

这些在后边都得开始弄起来才行了.😫😫😫

参考资料

[1] 潘承洞, 潘承彪. 哥德巴赫猜想, 第二版[M]. 科学出版社, 2011. P15-P23.

[2] 潘承洞, 潘承彪. 初等数论, 第三版[M]. 北京大学出版社, 2013. P450-P468.

[3] Dirichlet character. Wikipedia[Z]. https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_character. 25 Oct 2024.