特殊函数之prime tuple的探测器 -- k-th Mangoldt函数

引言

期末周快结束了,差不多终于可以看点自己感兴趣的内容了!堆积了好多内容可以更新,但事已至此,也只能慢慢来了.

首先先记录下k-th Mangoldt function的内容,因为它实际上就是在考察对Dirichlet卷积的计算,初等数论的期末考试也有这方面的考题,虽然很简单就是了.因此接下来的内容里,应该主要是计算为主了,这下要狠狠敲公式了.

但是这个函数我也并不是在什么数论习题册上找到的,而是它实实在在地出现在了GPY的论文中,为了限制一个数的素因子个数的函数.并且十分重要的GPY权函数也是从k-th Mangoldt函数出发,最后推导出来的.因此对这个函数的讨论还是有记录价值的.

Mangoldt函数经典版

最常见到的Mangoldt函数就是1st Mangoldt函数,用Dirichlet卷积表示出来就是:

$$\Lambda_1(n) = \mu(n) * \log(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \log\left(\dfrac{n}{d} \right). \quad (1)$$

当$n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_s^{r_s}$时,其$\Lambda_1(n)$具体的值可以写出来:

$$\Lambda_1(n) = \left\{ \begin{array}{l} \log p_1 & \textrm{if}\ n = p_1^{r_1} \\ 0 & \textrm{if}\ s > 1 \end{array} \right. \quad (2)$$

也就是:当$n$只有一个素因子的时候,$\Lambda_1(n) \neq 0$,而对于其余的$n$,$\Lambda_1(n) = 0$.因此便能限制一个数的素因子个数了.接下来将给出一个证明,其想法也可以用在k-th Mangoldt函数的讨论中.

(3)式的证明:

$\quad$ 设$n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_s^{r_s}$,于是函数的值可展开为:

$\quad$ 在上述式子中,若$s = 1$,即$n = p_1^{r_1}$时,很容易知道:

$$\Lambda_1(n) = r_1 \log p_1 - (r_1 - 1) \log p_1 = \log p_1.$$

$\quad$ 接下来考虑$s > 1$的情况,这个时候我们关注$\log p_i$前面的系数,也就是$a_i$:

$\quad$ 由于系数$a_i$均为$0$,因此可知此时有$\Lambda_1(n) = 0$.

$\quad$ 综上便可得到结论. $\square$

Mangoldt函数特典版

现在对(1)进行推广,便能得到k-th Mangoldt函数:

$$\Lambda_k(n) = \mu(n) * \log^k (n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \log^k \left( \dfrac{n}{d} \right). \quad (3)$$

而它也有限制一个数素因子个数的作用,并且相较之下更加灵活.其有以下的结论:

$$\Lambda_k(n) \left\{ \begin{array}{lll} \neq 0 & & \textrm{if}\ s < k \\ = k!\log p_1 \cdots \log p_s & & \textrm{if}\ s = k \\ = 0 & & \textrm{if}\ s > k \end{array} \right. \quad (4)$$

因此可以知道的是,当$n$的素因子个数大于$k$的时候,它就不能够通过$\Lambda_k(n)$的探测,当且仅当$n$的素因子个数小于等于$k$的时候,$\Lambda_k(n)$才得以保留.其中当$s = k$时,结果才容易直接写出,而$s < k$的时候,表达式也是能推出来的,但是就会稍微有一点点复杂了,这个在下面的证明过程中也能看到.

(4)式的证明:

$\quad$ 仍然是假设$n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_s^{r_s}$,将$\Lambda_k(n)$展开得:

$$\begin{array}{lll} \Lambda_k(n) & = &\sum_{d \mid n} \mu(d) \log^k \left( \dfrac{n}{d} \right) \\ & = & [ r_1\log p_1 + \cdots + r_s\log p_s ]^k \\ & & -[(r_1-1)\log p_1 + \cdots + r_s\log p_s]^k - \cdots - [r_1\log p_1 + \cdots + (r_s-1)\log p_s]^k \\ & & + \cdots + (-1)^s [(r_1-1)\log p_1 + \cdots + (r_s-1)\log p_s]^k \\ \end{array}$$

$\quad$ 而又有:

$$(x_1+\cdots+x_s)^k = \sum_{a_1+\cdots+a_s=k}\dfrac{k!}{a_1!\cdots a_s!}x_1^{a_1}\cdots x_s^{a_s}.$$

$\quad$ 于是全部展开后便可以得到$\log^{a_1} p_1 \cdots \log^{a_s} p_s$的系数$A_{a_1,\cdots,a_s}$为:

$$\begin{array}{lll} A_{a_1,\cdots,a_s} & = & \dfrac{k!}{a_1!\cdots a_s!}\cdot \left[r_1^{a_1}\cdots r_s^{a_s}-(r_1-1)^{a_1}\cdots r_s^{a_s}\right. \\ & & \left.- r_1^{a_1}\cdots(r_s-1)^{a_s}+\cdots+(-1)^s(r_1-1)^{a_1}\cdots(r_s-1)^{a_s}\right] \\ & = & \dfrac{k!}{a_1!\cdots a_s!}\cdot \left( r_1^{a_1}-(r_1-1)^{a_1} \right) \cdots\left( r_s^{a_s}-(r_s-1)^{a_s} \right) \end{array}.$$

$\quad$ 于是我们便得到了$\Lambda_k(n)$的表达式:

$$\Lambda_k(n) = \sum_{a_1+\cdots+a_s=k} \dfrac{k!}{a_1!\cdots a_s!}\cdot \left( r_1^{a_1}-(r_1-1)^{a_1} \right) \cdots\left( r_s^{a_s}-(r_s-1)^{a_s} \right) \cdot \log^{a_1}p_1 \cdots \log^{a_s}p_s.$$

$\quad$ 而当$s > k$时,则必然存在$a_i$为$0$,那么显然便有:$\Lambda_k(n) = 0$.

$\quad$ 而当$s = k$时,非平凡的项就是有$a_1=\cdots=a_s=1$的时候,此时$\Lambda_k(n) = k!\log p_1 \cdots \log p_s$.

$\quad$ 综上便可得到结论. $\square$

从上面证明过程中可以发现,其结果的关键一步是,将求和式变成乘积式.而Euler乘积公式以及Riemann$\zeta$函数也是这一想法的体现.

Mangoldt函数的作用

1st Mangoldt函数的作用在解析数论中更为常见,它在Riemann$\zeta$函数中的作用不可忽视.但是!我目前也只是知道有这回事,具体如何推导的也还不清楚.因此我想主要讲讲k-th Mangoldt函数在最近成果中的应用,这也是这篇文章最主要的目的之一了.

如果我给出$\mathcal{H} = \{ h_1, h_2, \cdots, h_k \}$,于是对于正整数$n$而言,便有$k$个不同的数:$n+h_1,\ n+h_2, \cdots,\ n+h_k$,想判断这$k$个数是否都为素数,如果想用函数来表达这个意思的话,那么$\Lambda_k$就是你的不二之选.

记$P_{\mathcal{H}}(n) = (n+h_1)(n+h_2)\cdots(n+h_k)$,我们可以计算$\Lambda_k(P_{\mathcal{H}}(n))$的值,如果非$0$的话,那么就可以知道这$k$个数必然都是素数.

以上我们可以记:

$$\Lambda_k(n; \mathcal{H}) := \frac{1}{k!} \Lambda_k(P_{\mathcal{H}}(n)) = \frac{1}{k!}\sum_{d|P_{\mathcal{H}}(n)} \mu(d) \log^k \frac{P_{\mathcal{H}}(n)}{d}.$$

而上面定义的函数,则是探测一个tuple是否是prime tuple的重要工具.但是$\Lambda_k$的函数值毕竟是间断的,于是我们用一个光滑截断函数去近似它:

$$\Lambda_R(n; \mathcal{H}) := \frac{1}{k!}\sum_{\substack{d|P_{\mathcal{H}}(n) \\ d \le R}} \mu(d) \log^k \frac{R}{d}.$$

最后再对其稍微放宽一些要求,也就是允许$n+h_i$中可以有almost prime,但是也不能要求太宽,于是让$P(\mathcal{H})$至多有$k+l$个素因子,其中$0 \le l \le k$,于是得到了GPY权函数:

$$\Lambda_R(n; \mathcal{H}, l) := \frac{1}{(k+l)!}\sum_{\substack{d|P_{\mathcal{H}}(n) \\ d \le R}} \mu(d) \log^{k+l} \frac{R}{d}. \quad (5)$$

而GPY权函数对素数间隙分布问题的研究可以说意义非凡,后面的Maynard-Tao权函数也是进一步推广了该权函数,从而绕过张益唐方法中对众多的组合式进行估计,从而对素数分布的间隙有了进一步的探究.

总结

一篇小短文结束了,但后续的工作也还是不少.寒假里的讨论班也得开始筹划才行了,然后GPY的论文翻译也可以慢慢开始了,以及圣经!!!该看了!!!

博士,您还有许多事情需要处理.现在还不能休息哦.

参考资料

[1] Von Mangoldt function. Wikipedia[Z]. https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mangoldt_function.

[2] Dirichlet Convolution. Wikipedia[Z]. https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_convolution.

[3] Goldston D A, Pintz J, Yildirim C Y. Primes in tuples I[J]. Annals of Mathematics, 2009: 819-862.