导言

本篇是对Goldston,Pintz,Yildirim的一篇论文Primes in tuples I的一部分内容的翻译,阅读后的体会与感悟应该会单独再出一篇博客.而原文的链接可以见:https://arxiv.org/abs/math/0508185.

GPY的这篇论文刊登在Annals of Mathematics,因此该论文的含金量不必我多说.而重要的是,这篇文章为后面对素数间隙分布的研究提供了新的思路与方法,并且在短短几年内,循着该文中提出的4个问题,数学界对该方面的研究得到了重大的突破.因此阅读这篇文章是必要的.

摘要

我们介绍了一种方法,用于证明存在一些彼此之间非常接近的素数.这种方法依赖于算术级数中素数的分布水平.在Elliott-Halberstam猜想成立的假设下,我们证明了存在无穷多组相差16或者更小的素数.即使是在更弱的猜想成立,也意味着存在无穷多组相差有界的素数.而无条件地,我们证明存在有比平均间隙的任意小倍数更接近的连续素数,也就是:

最后的结果将在后续的论文中得到显著地改进.

介绍

数论中最重要的未解问题之一是确定无穷多个素数组(prime tuple)的存在.这个问题不仅被认为很难,而且该领域的大多数数学家认为它无望解决,因为目前还没有已知的无条件方法来解决它.本文是我们一系列文章的第一篇,其目的是提供一种我们认为可以部分解决该问题的方法.目前,我们关于在元组(tuple)中素数的结果是以算术级数中素数的分布信息为条件的.然而,要证明对于一个足够大的而言,在一个给定的元组中存在无穷多的两个素数,其所需要的信息似乎并没有超出我们已知的结果太多.此外,通过对许多元组进行平均,我们可以在论证中获得足够的信息,从而获得关于素数之间小间隙(small gaps between primes)的无条件结果,这些结果远远超出了之前所证明的任何结果.因此,我们能够证明素数之间存在非常小的间隙,然而,随着素数的变大,这个间隙也会趋于无穷大,但是这个增大的趋势是非常慢的.

我们方法中所需要的关于素数的信息,现在通常被称为算术级数中素数的分布水平(the level of distribution of primes in arithmetic progressions).设

并且考虑计数函数

Bombieri-Vinogradov定理指出,对于任意,都存在一个,使得对于,有

我们称素数的分布水平为,如果对于任意以及任意的成立,其中

Elliott和Halberstam[5]猜测素数的分布水平为.根据Bombieri-Vinogradov定理,已知的是素数的分布水平为.

令为自然数,并且考虑元组

其中是由不同的非负整数组成的集合.如果元组中的每一个元素都是素数,则称其为素元组(prime tuple).现让遍历所有自然数,我们希望知道中是素元组的频率是多少.例如,考虑和元组.如果,则得到了一个素元组.而这也是这种形式下的唯一的素元组,因为当时,与中必有一个是大于的偶数.另一方面,如果,则我们预期存在有无穷多个形式为的素元组,而这就是孪生素数猜想.一般而言,若对于任意的素数,永远不会占据以为模数的所有剩余类,则元组中有超过个的素元组.这对于大于的素数,条件是显然成立的,于是我们只需去检查那些小的素数是否满足条件.如果我们用表示所有在模意义下占据的不同剩余类的个数,于是我们可以避免整除中的某些部分,方法是要求

如果这个条件成立,我们称是可容许的(admissible),并且将对应于的元组称为可容许的元组(admissible tuple).长期以来,一直猜想有可容许的元组中存在无穷个素元组.我们的第一个结论就是朝着证实这一猜想的第一步.

定理1. 假设素数的分布水平.那么存在一个可明确计算的常数,其仅取决于,使得对于任意,任意的可容许的元组,有无穷多个该形式的元组,其中含有至少两个素数.特别地,当,那么对于结论也成立.

由于元组是可容许的,在Elliott-Halberstam猜想下则意味着有

其中表示的是第个素数.这意味着,对于无数多个,有.无条件的,我们证明了一个关于连续素数之间间隙的长期猜想.

定理2. 我们有

关于这个结论的讨论由来已有,我们将简要地介绍一下.不等式是素数定理的一个平凡的结论.第一个形如的结论是1926年由Hardy和Littlewood[17]证明的,他们在广义Riemann猜想(GRH)的假设下得出.仍然是在GEH假设下,Rankin[25]将结果改进为.第一个无条件的估计结果是Erdős[7]于1940年证明的,他使用Brun筛法证明存在有一个可明确计算的常数,使得,但Erdős并没有明确给出的值.在1954年,Ricci[26]将Erdős的结论改进为:.在1965年Bombieri和Davenport[2]改进并无条件化了Hardy和Littlewood的方法,用Bombieri-Vinogradov定理替代了GRH,从而得到了.他们还结合Erdős的方法,得到了.他们的结果不久被Pilt’ai[24]细化为,被Uchiyama[31]细化为,而Huxley[19][20]细化至,最终于1984年得到.在1988年Maier[22]使用他的矩阵方法改进了Huxley的结果为,其中为Euler常数.Maier方法本身可得到.最近由Goldston和Yildirim[12]的方法,不需要结合其他方法可以得到的结果为.

在本系列的后续一篇论文中,我们将证明一个定量的结果

虽然定理1是一个引人注目的新结果,但它也反映了我们当前方法的局限性.这些局限性是否真实存在或者是够可以克服是进一步研究的关键问题.我们重点关注的是以下四个问题:

问题1. 能够利用当前方法无条件地证明存在无数个素数,彼此之间存在有界间隙?定理1似乎距离该结果仅有一步之遥.但是,对于素数分布水平的任何进一步的结果都似乎是极为深刻的,甚至GRH都不起作用.不过,有更强版本的Bombieri-Vinogradov定理(如[3]中所述),以及众多证明这些结论的想法,或许有希望解决这一问题.

问题2. 是从元组中得到素数的真正阻碍吗?Soundararajan[29]证明了在当前的论证中,其的确阻碍了我们进一步的结论.但是或许可以设计出更有效的论证解决这一问题.

问题3. 在Ellott-Halberstam猜想的假设下,能否证明当足够大时,在可容许的元组中存在有三个或者更多的素数?即使在最强的假设条件下,我们的方法仍然不足以证明给定元组中存在有超过两个的素数.

问题4. 在Ellott-Halberstam猜想的假设下,能否用类似的想法证明孪生素数猜想?