筛法的顶峰之一 -- 陈景润定理

引言

在这段时间内,虽然一直没有更新,但是还是干了不少事的.例如,我终于把Halberstam的第二章给看完了!在这一章中我们完成了 $(7, 7)$ 以及 $(1, 7)$ 的证明,用严谨一点的语言来说就是:

Brun’s pure sieve:

$\quad$ 存在无穷个自然数 $n$ ,使得:

$(n, n+2) = (P_7, P'_7).$

Brun’s sieve:

$\quad$ 存在无穷个素数 $p$ ,使得:

$p+2 = P_7.$

$\quad$ 其中 $P_7$ 表示至多 $7$ 个质因子的数.

注:后续文中的 $\mathscr{A}^{[b]}$ 表示的是 $\mathscr{A}$ 中所有至多 $b$ 个素因子的数,因此它是一个集合,而上面的 $P_b$ 表示的是一个数,也就是 $\mathscr{A}^{[b]}$ 中的一个元素,因此两者的含义并不相同.

以及除此之外,我也终于是开启了对Serre的A Course in Arithmetic的学习.其实现在学起来比起当时大三的时候要顺利不少,虽然在p-adic一节还是给我整了不少花活,让我花了不少时间去理解.

总之,上面的这些内容我也都要一个一个摘录一遍!但是现在,先解决掉历史遗留问题–陈景润定理.以下主要参考二潘的『哥德巴赫猜想』. 注意:我对二潘书上的一些符号进行了一些调整,使得其主要与Halberstam书上的符号一致.

陈定理对"1+2"的证明是用到了一个很精彩的加权函数,能从定理"1+3"中筛掉所有 $p_0+p_1p_2p_3$ 形式的数,那么自然剩下的就只有 $p_0+p_1$ 或者 $p+p_1p_2$ 形式的数了.因此在这里,对定理"1+3"的一个简要证明也是必要的.而非加权情况下的定理"1+4"也是可以了解以下的.

临阵磨枪

构造筛函数

首先对Goldbach猜想建立我们的筛函数 $S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z)$ .一些细则可以看筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) – 筛函数与一些经典筛法例子.

$\quad$ 假设 $N$ 是一个充分大的偶数,令

$\mathscr{A} = \mathscr{A}(N) := \{ a : a = N - p, p \le N \}, \quad (2.1)$

$\quad$ 以及令我们的素数集为

$\mathfrak{P} = \{ p : p \nmid N \},$

$\quad$ 在这种情况下,我们可以取

$X = \text{li}N \sim \frac{N}{\log N},$

$\quad$ 当 $\mu(d) \neq 0,\ (d, N) = 1$ 时有

$\omega(d) = \frac{d}{\varphi(d)},$

$\quad$ 以及该条件下的余项

$\begin{split} r_d & = \pi(N; d, N) - \frac{1}{\varphi(d)} \text{li}N \\ \\ & = \displaystyle\sum_{\substack{p \le x \\ p \equiv l\ \textrm{mod}\ d}} 1 - \frac{1}{\varphi(d)} \text{li}N \\ \\ & = E(N; d, N). \quad (2.2) \end{split}$

Bombieri-Vinogradov定理

并且可以知道的是, $\omega(p)$ 还满足一些很好的条件

存在绝对常数 $L_1,L_2$ 以及与 $z$ 相关的常数 $A_z$ ,使得

其中 $\Omega_1$ 在筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) – 筛函数与一些经典筛法例子中已经有所提及,而 $\Omega_2(1)$ 则是线性筛,其有更一般的形式 $\Omega_2(\kappa)$ ,我将在接下来更新Halberstam第二章的博客中将进一步介绍.而线性筛的情况下,我们便能通过Linnik的大筛法以及Rosser筛法等方法对素数分布水平进行估计了,于是得到有

Bombieri-Vinogradov定理:

$\quad$ 设 $x \ge 2$ ,对任意的整数 $A$ ,当 $B = A + 15$ 时,记

$\begin{split} R(D, x) & = \sum_{d \le D} \max_{y \le x} \max_{(l,d) = 1} |E(y; d, l)| \\ & = \sum_{d \le D} \max_{y \le x} \max_{(l,d) = 1} \left|\pi(y; d, l) - \dfrac{1}{\varphi(d)}\text{li}x \right|, \end{split}$

$\quad$ 于是有

$R(x^{\frac{1}{2}}\log^{-B}x, x) \ll x\log^{-A}x. \quad (2.3)$

而在筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) – 筛函数与一些经典筛法例子的(3.2.5.4)也介绍了一个误差上界的概念 $E(x, q)$ ,而此处的 $R(D, x)$ 与其结构很相似,但还是有所不同.

而这个定理也是我们对素数间小间隙问题的重要支撑之一了,这在论文阅读之翻译篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)以及论文阅读之重点提炼篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)之中也有稍微详细一点的阐述,这里不再展开.

而我们在这篇博客中需要用到的是该定理的一个推论,即

推论:

$\quad$ 设 $x \ge 2$ ,对任意的整数 $A$ ,当 $B_1 = 2A + 32$ 时,有

$\sum_{d \le D} \mu^2(d) 3^{v(d)} \max_{y \le x} \max_{(l,d) = 1} |E(y; d, l)| \ll x\log^{-A}x, \quad (2.4)$

$\quad$ 其中 $D = x^{\frac{1}{2}}\log^{-B_1}x$ .

简要证明:

$\quad$ 设 $\lambda = A + 17$ ,而这个莫名其妙的 $\lambda$ 和推论中的 $B$ 在最后一步的估计中可以确定.

$\quad$ 于是便可以得到

$\begin{split} \sum_{d \le D} \sim & = \sum_{\substack{d \le D \\ 3^{v(d)} \ge \log^{\lambda} x}} \sim + \sum_{\substack{d \le D \\ 3^{v(d)} < \log^{\lambda} x}} \sim \\ \\ & \ll \log^{-\lambda} x \sum_{\substack{d \le D \\ 3^{v(d)} \ge \log^{\lambda} x}} \mu^2(d) 3^{2v(d)} \max_{y \le x} \max_{(l,d) = 1} |E(y; d, l)| + \log^{\lambda} x \cdot R(D, x) \\ \\ & =: S + T. \end{split}$

$\quad$ 对 $T$ 而言由(2.3)便有

$T \ll x \log^{-\lambda - B_1 + 15} x = \log^{-A} x.$

$\quad$ 而在 $S$ 中,记 $d(n)$ 为除数函数,易验证有

$\mu^2(n) 3^{2 v(n)} \le d^4(n),$

$\quad$ 以及注意到

$\max_{y \le x} \max_{(l,d) = 1} |E(y; d, l)| \le \max_{y \le x} \dfrac{2y}{\varphi(d) \log y} \ll \dfrac{x}{d\log x},$

$\quad$ 最后结合以下推论

$\sum_{n \le x} \dfrac{d^r(n)}{n} \ll \log^{2^r} x,$

$\quad$ 于是有

$S \ll x \log^{1-\lambda} \sum_{n \le x} \dfrac{d^4(n)}{n} \ll x \log^{-A} x.$

$\quad$ 于是便可证明推论. $\square$

而我们之所以需要对推论中左侧的求和式进行阶的估计,是由于下面的Jurkat-Richert定理导致的.

Jurkat-Richert定理

紧接着,我们先承认以下线性筛法的结果,也就是

定理1(Jurkat-Richert):

在条件 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2(1)$ 成立的条件下,设 $2 \le z \le X$ ,则有以下估计

$S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) \le XW(z)\left\{ F\left( \frac{\log X^2}{\log z} \right) + O\left( \frac{A}{\log^{1/14} X} \right) \right\} + \sum_{\substack{d | P(z) \\ d < X^2}} 3^{v(d)}|r_d|, \quad (2.5)$

$S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) \ge XW(z)\left\{ f\left( \frac{\log X^2}{\log z} \right) + O\left( \frac{A}{\log^{1/14} X} \right) \right\} - \sum_{\substack{d | P(z) \\ d < X^2}} 3^{v(d)}|r_d|. \quad (2.6)$

以及确定余项的阶后,可由定理1可推出的一个定理

定理2:

$\quad$ 在条件 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2(1)$ 成立的条件下,设 $2 \le z \le X$ ,若存在 $0 < \alpha \le 1$ 以及 $B \ge 0$ ,使得有

$\sum_{\substack{d \le X^\alpha \log^{-B} X \\ (d, \mathfrak{P}) = 1}} \mu^{2}(d) 3^{v(d)}|r_d| \ll \frac{X}{\log^2 X}, \quad (2.7)$

$\quad$ 则有以下估计

$S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) \le XW(z)\left\{ F\left( \alpha \frac{\log X}{\log z} \right) + O\left( \frac{A}{\log^{1/14} X} \right) \right\}, \quad (2.8)$

$S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) \ge XW(z)\left\{ f\left( \alpha \frac{\log X}{\log z} \right) + O\left( \frac{A}{\log^{1/14} X} \right) \right\}. \quad (2.9)$

观察定理2的条件我们都能看得出来,这就是为我们的Goldbach猜想以及孪生素数猜想准备的.而后面我们马上就能看到它的强大作用.

两个分段函数

由于定理1和2中的两个函数 $F$ 和 $f$ 比较复杂,因此再花一点篇幅简单说一下这是什么,虽然我还没弄懂这个是怎么构造出来的两个奇怪函数.

实际上, $F$ 和 $f$ 是由下面的几个法则分段确定下来的.

$\left\{ \begin{array}{l} F(u) = \dfrac{2\text{e}^{\gamma}}{u}, \ 1 \le u \le 2, \\ \\ f(u) = 0, \ 1 \le u \le 2, \\ \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d} u} uF(u) = f(u-1), \ u > 2, \\ \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d} u} uf(u) = F(u-1), \ u > 2. \end{array} \right. \quad (2.10)$

其中 $\gamma$ 为Euler常数.因此函数 $F$ 和 $f$ 事实上是可以分段确定下来的,Terence Tao的博客上直接将其表示如下

$\left\{ \begin{array}{l} F(u) = 2\text{e}^{\gamma} \left( \dfrac{\mathbf{1}_{u > 1}}{u} + \displaystyle\sum_{\substack{j \ge 3 \\ j \text{ is odd}}} \dfrac{1}{j!} \int_{[1, +\infty)^{j-1}} \dfrac{\mathbf{1}_{t_1 + \cdots + t_{j-1} \le s-1}}{t_1 \cdots t_{j-1}} \ \text{d}t_1 \cdots \text{d}t_{j-1} \right), \\ \\ f(u) = 2\text{e}^{\gamma} \displaystyle\sum_{\substack{j \ge 2 \\ j \text{ is even}}} \dfrac{1}{j!} \int_{[1, +\infty)^{j-1}} \dfrac{\mathbf{1}_{t_1 + \cdots + t_{j-1} \le s-1}}{t_1 \cdots t_{j-1}} \ \text{d}t_1 \cdots \text{d}t_{j-1}. \end{array} \right.$

其中 $\mathbf{1}_S$ 是集合 $S$ 上的示性函数.并且对于定理1和定理2而言,此处的 $F$ 和 $f$ 已经是最优选择,并且与筛法的奇偶性检验有关,详情可以看Terence Tao的博客 $^{4}$ .

定理"1+4"

我们记

$\mathscr{A}^{[b]} = \mathscr{A}^{[b]}(N) := \{ a : a \in \mathscr{A}, v(a) \le b \},$

其中 $v(d)$ 是记重数的(由于之前出现 $v(d)$ 时总有 $\mu(d) \neq 0$ ,因此记不记重数都是一致的,但此处需要特意说明).现在我们便可以证明

定理"1+4":

$\quad$ 命题"1+4"成立,更准确地,我们有

$|\mathscr{A}^{[4]}| > 3.24 C(N) \frac{N}{\log^2 N},$

$\quad$ 其中

$C(N) = \prod_{p > 2} \left( 1 - \frac{1}{(p-1)^2} \right) \prod_{\substack{p | N \\ p > 2}} \frac{p-1}{p-2}.$

简要证明:

$\quad$ 我们首先便有

$|\mathscr{A}^{[b]}| \ge S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, N^{\frac{1}{b+1}}) + O(\log N). \quad (3.1)$

$\quad$ 而式子(3.1)是基于以下的判断.

$\qquad$ 若 $(a, P(N^{\frac{1}{b+1}})) = 1$ ,也就是 $a$ 中的素因子都大于 $N^{\frac{1}{b+1}}$ ,那么自然可知 $a \in \mathscr{A}^{[d]}$ .

$\qquad$ 而所有如上所示的 $a$ 的数量就是

$\sum_{\substack{a \in \mathscr{A} \\ (a, P(N^{\frac{1}{b+1}})) = 1}} 1 = S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, N^{\frac{1}{b+1}}).$

$\qquad$ 但如果 $(a, P(N^{\frac{1}{b+1}})) = d > 1$ ,此时必然有 $(a, P(N)) \neq 1$ ,但仍然可能有 $a \in \mathscr{A}^{[d]}$ .

$\qquad$ 这时我们再回顾以下我们对于 $\mathscr{A}$ 的定义,于是我们发现

$d | N - a = p,$

$\qquad$ 因此只有可能是 $(a, P(N)) = p$ ,即 $p | N$ .而满足上面条件的 $a$ 的数量为

$\#\{a : (a, P(N)) \neq 1\} \le \#\{p : p | N\} = v(N) \ll \log N.$

$\qquad$ 综上便可以得到(3.1).

$\quad$ 接下来我们再用定理2中的(2.9),此处可取 $\alpha = 1/2, B = 38$ ,并且可知

$W(z) = 2C(N) \frac{\text{e}^{-\gamma}}{\log z} \left( 1 + O\left( \frac{\log\log N}{\log z} \right) \right),$

$\quad$ 以及

$X = \frac{N}{\log N},$

$\quad$ 因此我们便得到了

$\begin{split} S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, N^{1/v}) & \ge XW(N^{1/v})\left\{ f\left(\frac{v\log X}{2\log N} \right) + O\left( \frac{A}{\log^{1/14} X} \right) \right\} \\ \\ & = 2vC(N) \frac{N}{\log^2 N}\text{e}^{-\gamma}\left( 1 + O(v\frac{\log\log N}{\log N}) \right) \\ \\ & \qquad \qquad \times \left\{ f(\frac{v}{2} - \frac{v\log\log N}{2\log N}) + O(\frac{A v^{1/14}}{\log^{1/14} N}) \right\} \\ \\ & = 2vC(N)\frac{N}{\log^2 N}\text{e}^{-\gamma}f\left( \frac{v}{2} \right)(1 +o(1)), \end{split}$

$\quad$ 其中 $v = b + 1$ ,然后由(2.10)处可得到 $f(u)$ 的一些信息,即有

$\left\{ \begin{array}{l} f(u) = 0, \ 1 \le u \le 2, \\ \\ f(u) > 0, \ u > 2. \end{array} \right.$

$\quad$ 因此为了让主项不为0,我们这里需要让 $v = 5$ ,也就是 $b = 4$ .于是便有

$|\mathscr{A}^{[4]}| \ge (1 + o(1)) \cdot 8 \log \frac{3}{2} \cdot C(N) \frac{N}{\log^2 N} > 0.$

$\quad$ 由此我们便证明了命题"1+4". $\square$

定理"1+3"

在证明定理"1+4"的过程中,(3.1)起了非常大的作用,而Kuhn提出了"加权筛法",对(3.1)进行进一步的优化.其表现为以下的引理.

Kuhn权函数

引理1:

$\quad$ 设 $b$ 为正整数, $v$ 为正数,且 $v > b \ge 1$ ,我们有

$|\mathscr{A}^{[b]}| \ge \sum_{\substack{ a \in \mathscr{A} \\ (a, P(N^{\frac{1}{v}})) = 1 }} \left( 1 - \frac{1}{2} \rho_1(a) \right) + O\left( N^{1 - \frac{1}{v}} \right), \quad (4.1)$

$\quad$ 其中

$\rho_1(a) = \sum_{\substack{ p_1 | a, \ p_1 \nmid N \\ N^{1/v} \le p_1 < N^{1/b} }} 1. \quad (4.2)$

直觉理解:

$\quad$ 在(4.1)中,右侧的求和式的下标中,我们让 $a$ 只有大于 $N^{\frac{1}{v}}$ 的素因子,在这种情况下, $a$ 当然有可能不在 $\mathscr{A}^{[b]}$ 中,因此我们需要用权函数 $(4.2)$ "消去"那些臃肿的数(也就是多于 $b$ 个素因子的数).