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筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) -- Brun用容斥原理击落(一半)孪生素数猜想

发表于2025-04-03|更新于2025-04-03|筛法

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参考资料

[1] Halberstam, Richert. Sieve Methods[M]. Dover Publications, 2011. P37-P96.

[2] T. Tao. 254A, Notes 4: Some sieve theory[Z]. https://terrytao.wordpress.com/2015/01/21/254a-notes-4-some-sieve-theory/.

[3] Ege Erdil. Brun’s theorem and sieve theory[Z]. https://www.lesswrong.com/posts/aSYvbztFDdG7LBeRz/brun-s-theorem-and-sieve-theory#The_sieve_of_Eratosthenes.

引言

决定了,还是先花最少的时间,先把Halberstam的第二章速速解决掉.毕竟已经是上个月就已经学习完的内容,并且经过上一篇文章的洗礼,我觉得我对Brun筛法又有了一些新的认识了.这次尽量还是压缩一些篇幅,以记录下一些关键要点为主吧.

其中对于Brun定理的推论–也就是所有孪生素数的倒数之和是收敛的–这个我已经在围绕Brun定理展开的素数指标求和估计式中已经解释完了,而本章最主要的目的便是,为什么对于 $\pi_2(x)$ 的估计是正确的?即根据Brun’s pure sieve来证明

$\pi_2(x) \ll \frac{x}{\log^2 x} (\log\log x)^2.$

以及在筛法的顶峰之一 – 陈景润定理开头提到的,用Brun’s sieve来证明命题"7+7"和"1+7".

当然最重要的还是组合筛法的概念和要点,以及一些重要的条件–其实说的就是你, $\Omega_2(\kappa)$ ,以及记录一下Rosser’s sieve.

在此过程中,我也会参考Terence Tao博客上的一些内容.因此会有一些符号上对应不上的情况.奈何实力不够,不然我全统一我文章中的符号和语言了😭.

那么我们就正式开始组合筛法的旅途了!!!

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文章作者: Chihaya Anon

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Brun's Theorem Sieve Methods Prime Twins Conjecture Combinatorial Sieve Brun's Sieve

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