筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) -- Selberg用二次型计算筛函数上界

引言

这篇文章,我们将介绍Selberg最简单的上界筛模型,其利用二次型求极值的方法,从而对筛函数求出了一个上界.而Selberg更深刻的应用则可以见筛法读书笔记(哥德巴赫猜想 by 潘承洞) – 加权筛法顶峰之陈景润定理.实际上这篇文章就是对Selberg筛法模型的一个补全,否则前后内容之间会有所缺失.

而利用二次型的想法,在其他的地方也有很广泛的应用,其在惜字如金的Serre书中甚至占了特别大的篇幅,而在GPY的论文中也有应用!后者可以见论文阅读之重点提炼篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim),而前者我完成筛法部分的内容后也可以慢慢开启!

而正如我上篇文章结尾所说,本篇文章只是一个补充,不会也不能很长,那么现在就正式开启Selberg筛法的旅程!

二次型的构造

Selberg筛法的理论基础来源于下面一个可以直接验证的不等式:

$S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) \le \sum_{a \in \mathscr{A}} \left( \sum_{\substack{ d | a, \ d | P(z) }} \lambda_d \right)^2,\quad (2.1)$

其中 $\lambda_1 = 1, \lambda_d(d \ge 2) \in \mathbb{R}$ .而这个不等式右侧是一个无限变量的二次型,而这也是我们这种筛法较之组合筛法更易于计算的关键.

记 $v = 1, 2, D = [d_1, d_2]$ ,以及由筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) – 筛函数与一些经典筛法例子中的

$|\mathscr{A}_d| = \frac{\omega(d)}{d} X + R_d,$

于是我们可以得到有

$\begin{split} S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) & \le \sum_{d_v | P(z)} \lambda_{d_1} \lambda_{d_2} \sum_{\substack{ a \in \mathscr{A} \\ a \equiv 0 \text{ mod } D }} 1 \\\\ & = \sum_{d_v | P(z)} \lambda_{d_1} \lambda_{d_2} |\mathscr{A}_d| \\\\ & = X \sum_{d_v | P(z)} \lambda_{d_1} \lambda_{d_2} \frac{\omega(D)}{D} + \sum_{d_v | P(z)} |\lambda_{d_1} \lambda_{d_2} R_D|, \quad (2.2) \end{split}$

于是定义

$\Sigma_1 := \sum_{d_v | P(z)} \lambda_{d_1} \lambda_{d_2} \frac{\omega(D)}{D},\quad \Sigma_2 := \sum_{d_v | P(z)} |\lambda_{d_1} \lambda_{d_2} R_D|.$

故现在的目的便是,在(2.1)中选取一系列合适的 $\lambda_d$ ,让 $\Sigma_1$ 尽可能小,这样我们便得到了在这种情况下最优的一个上界.

主项的估计

然后在此处,截断的想法又能帮我们大忙.当我们选取

$\lambda_d = 0, \text{ if } d \ge z,\quad (3.1)$

我们可以发现的是,(2.1)右侧的式子变成了有限变量的二次型,且此时 $\Sigma_2$ 中项数也并没有很多,换言之,余项应该是很容易被bound住的.下面我们先对主项进行估计.

$\quad$ 注:上面的(3.1)在我们的实际计算中也十分重要,下面时刻要记得,我们的很多变量都是要小于z的.

在条件 $\Omega_1$ 下,我们定义

$G_k(x) := \sum_{\substack{ d < x \\ (d, k) = 1}} \mu^2(d) g(d),\quad (3.2)$

特别地, $G_1(z)$ 就是我们在筛法读书笔记(Sieve Methods by Halberstam) – 筛函数与一些经典筛法例子中定义的 $G(z)$ .

然后根据我们前面的知识知道的是,对于任意自然数 $d$ ,我们都有 $g(d) > 0$ ,以及 $\omega,g$ 是一个积性函数.于是我们有

$\frac{d}{\omega(d)} = \prod_{p | d} \left( 1 + \frac{1}{g(p)} \right) = \sum_{l | d} \frac{1}{g(l)}, \quad (3.3)$

记 $d = (d_1, d_2)$ ,于是得到有

$\begin{split} \frac{\omega(D)}{D} & = \frac{\omega(d_1) \omega(d_2)}{d_1 d_2} \cdot \frac{(d_1, d_2)}{\omega((d_1, d_2))} \\\\ & = \frac{\omega(d_1)}{d_1} \frac{\omega(d_2)}{d_2} \sum_{l | d_v} \frac{1}{g(l)}. \quad (3.4) \end{split}$

根据(3.1),也就是表明 $\color{red} d_1,d_2 < z$ 时(3.4)式才有意义,否则在(3.3)的左侧分母就是 $0$ 了.注意到这点后(下面公式中莫名其妙出现的 $d < z$ 就是这个原因),那么就可以发现

$\begin{split} \Sigma_1 & = \sum_{\substack{ d_1 | P(z) \\ d_1 < z }}\sum_{\substack{ d_2 | P(z) \\ d_2 < z }} \lambda_{d_1} \lambda_{d_2} \frac{\omega(d_1)}{d_1} \frac{\omega(d_2)}{d_2} \sum_{l | d_v} \frac{1}{g(l)} \\\\ & = \sum_{\substack{ l < z \\ l | P(z) }} \frac{1}{g(l)} \left( \sum_{\substack{ l | d | P(z) \\ d < z }} \lambda_d \frac{\omega(d)}{d} \right)^2, \\\\ & = \sum_{\substack{ l < z \\ l | P(z) }} \frac{1}{g(l)} {y_l}^2, \quad (3.5) \end{split}$

其中

$y_l := \sum_{\substack{ l | d | P(z) \\ d < z }} \lambda_d \frac{\omega(d)}{d}. \quad (3.6)$

于是我们将 $\Sigma_1$ 又重新表示为一个有限变量的二次型,并且我们需要求其最小值.

我们根据Mobius反演公式,可以从(3.6)处得到

$\lambda_d \frac{\omega(d)}{d} = \sum_{\substack{ d | l | P(z) \\ l < z }} \mu\left( \frac{l}{d} \right) y_l, \quad (3.7)$

特别地,当我们取 $d = 1$ 时,我们有

$\sum_{\substack{ l | P(z) \\ l < z }} \mu(l) y_l = 1. \quad (3.8)$

紧接着,我们将从(3.8)出发,利用Cauchy-Schwarz不等式,来求出(3.5)的最小值,以及此时 $\lambda_d$ 的取值. $^{[4]}$ 结合(3.8),(3.2)和(3.5)可以得到

$\begin{split} 1 & = \left( \sum_{\substack{ l | P(z) \\ l < z }} \mu(l) \sqrt{g(l)} \frac{1}{g(l)} y_l \right)^2 \\\\ & \le \left( \sum_{\substack{ l | P(z) \\ l < z }} \mu^2(l) g(l) \right) \cdot \left( \sum_{\substack{ l | P(z) \\ l < z }} \frac{1}{g(l)} \frac{\omega(d)}{d} {y_l}^2 \right) \\\\ & = G(z) \cdot \Sigma_1, \quad (3.9) \end{split}$

于是得知

$(\Sigma_1)_{\text{min}} = \frac{1}{G(z)}, \quad (3.10)$

并且由Cauchy-Schwarz不等式的取等条件知

$y_l = \left( \sum_{\substack{ l | P(z) \\ l < z }} g(l) \right)^{-1} \mu(l) g(l),$

再根据(3.7)和(3.2)将上式化简得到

$\lambda_d = \frac{\mu(d)}{\displaystyle\prod_{p | d} (1 - \omega(p)/p) } \cdot \frac{G_d(z/d)}{G(z)}. \quad (3.11)$

于是(3.10)式是可以取等的,至此,我们便解决了主项的估计问题.

$\quad$ 补:也可以验证得知 $|\lambda_d| \le 1,\ \forall d \in \mathbb{N}$ .

余项的估计

最后我们来估计余项,看它是否确实如我们前面所说的,是容易控制的.

根据(3.11)以及其下面的补充,我们首先得到有

$\Sigma_2 \le \sum_{\substack{ d_v | P(z) \\ d_v < z }} |R_{D}|, \quad (4.1)$

其中 $D$ 仍然是 $[d_1, d_2]$ .

然后我们有很容易知道的是

$\big|\big\{ (d_1, d_2) : [d_1, d_2] = d \big\}\big| = 3^{\nu(d)}, \quad (4.2)$

于是我们很容易便得到有

$\Sigma_2 \le \sum_{\substack{ d < z^2 \\ d | P(z)}} 3^{\nu(d)} |R_d| \le \sum_{\substack{ d < z^2 \\ (d, \mathfrak{P}) = 1 }} \mu^2(d) 3^{\nu(d)} |R_d|.\quad (4.3)$

于是我们得到

定理1/定理3.2:

$\quad$ 在 $\Omega_1$ 的条件下,我们有

$S(\mathscr{A}; \mathfrak{P}, z) \le \frac{X}{G(z)} + \Sigma_2, \quad (4.4)$

$\quad$ 其中

$\Sigma_2 \le \sum_{\substack{ d < z^2 \\ (d, \mathfrak{P}) = 1 }} \mu^2(d) 3^{\nu(d)} |R_d|,$

$\quad$ 或者也可以表示为

$\Sigma_2 \le \sum_{\substack{ d < z^2 \\ d | P(z)}} |R_{[d_1, d_2]}| \le \sum_{\substack{ d < z^2 \\ d | P(z) }} 3^{\nu(d)} |R_d|.$

最后的最后,我们假设 $R_d$ 满足条件 $R$ ,因此

$\begin{split} \sum_{\substack{ d < z^2 \\ d | P(z) }} 3^{\nu(d)} |R_d| & \le \sum_{\substack{ d < z^2 \\ d | P(z) }} 3^{\nu(d)} \omega(d) \le z^2 \sum_{d | P(z)} \frac{3^{\nu(d)} \omega(d)}{d} \\\\ & = z^2 \prod_{\substack{ p < z \\ p \in \mathfrak{P}}} \left( 1 + \frac{3\omega(p)}{p} \right) \le z^2 \prod_{p < z} \left( 1 + \frac{\omega(p)}{p} \right)^3 \\\\ & \le \frac{z^2}{W^3(z)}. \quad (4.5) \end{split}$