论文阅读 -- Small gaps between primes (Maynard)

发表于2025-04-15|更新于2025-04-16|论文阅读

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引言

如果关注孪生素数猜想的话,我们知道的是,在Goldston,Pintz,Yildirim对admissible k-tuple筛选,得到了一些突破性的成果(这些我在论文阅读之翻译篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)和论文阅读之重点提炼篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim)中有简单的记录)之后,张益唐对GPY筛法进行进一步的讨论,最终得到了张益唐定理,引发了数论界对素数有界间隙的探索.

而在这个过程之中,Maynard的工作又发挥了相当大的作用.他引入 $k$ 维Selberg权函数的概念,对GPY权函数进行了拓展,并且将素元组猜想也向前推进了一大步.后续Polymath的工作也是基于这个之上,在承认Elliott-Halberstam猜想的情况下,Maynard的结果仍然是最优的,而承认广义Elliott-Halberstam猜想后,我们才得到孪生素数间隙上界为6的这个结果.

因此在本篇文章中,我将(尝试)对Maynard定理做一个简单的记录,以及记录一点Maynard-Tao权函数的一些想法(因为实际上我还没有全部掌握😭,证明所取函数是最优的这一块我也没有深入学习),而最后,我看能不能简单再记录一下张益唐论文中最重要的一些突破点(组合杀我😭).

Maynard的论文为:https://arxiv.org/pdf/1311.4600.

总之,启动启动!全部启动!不学习永远学不会!但注意的是,有一些符号我稍稍做了一点修改,可能和原论文并不一致.

参考资料

[1] Maynard J. Small gaps between primes[J]. Annals of mathematics, 2015: 383-413.

[2] Zhang Y. Bounded gaps between primes[J]. Annals of Mathematics, 2014: 1121-1174.

[3] Goldston D A, Pintz J, Yildirim C Y. Primes in tuples I[J]. Annals of Mathematics, 2009: 819-862.

[4] T. Tao. 254A, Notes 4: Some sieve theory[Z]. https://terrytao.wordpress.com/2015/01/21/254a-notes-4-some-sieve-theory/.

[5] Soundararajan K. The work of James Maynard[J]. Prize LectureS, 2022, 1: 66-80.

成果比较与陈述

在此前,对于孪生素数猜想而言,我们无条件的结果的最大突破就是张益唐利用GPY筛法得到的

$\liminf_{n} (p_{n+1} - p_n) \le 70000000,$

然后经过Polymath的工作后,最终将无条件下的上界缩小为4680.

而在假设Elliott-Halberstam猜想成立的情况下,Goldston,Pintz,Yildirim得到的结果为

$\liminf_{n} (p_{n+1} - p_n) \le 16.$

而对于素元组猜想而言,GPY筛法的局限性就体现出来了(这在GPY论文中也承认了这一点),也就是它无法很好地寻找两个以上素数的有界间隙.使用GPY筛法,即使在假设Elliott-Halberstam猜想成立的情况下,我们也只能得到

$\liminf_{n} \frac{p_{n+2} - p_n}{\log p_n} = 0.$

而素元组猜想说的是:

素元组猜想(Prime k-tuples conjecture):

$\quad$ 设 $\mathcal{H} = \{ h_1, \cdots, h_k \}$ 是admissible,那么存在无穷多的正整数 $n$ 使得 $n+h_i$ 都是素数.

因此Maynard论文中给出了一种新的权函数构造方式,将很好地回答GPY论文中给出的第2个和第3个问题,见论文阅读之翻译篇 – Primes in tuples I (Goldston, Pintz, Yildirim),并且往往在数值上给出更优的结果.而在这篇论文中,我们最终得到了一些很神奇的结果.

定理1.1:

$\quad$ 令 $m \in \mathbb{N}$ ,我们有

$\liminf_n(p_{n+m} - p_n) \ll m^3 \text{e}^{4m}.$

可以发现的是,这个结论比之前的结果都要强得多,但是它距离素元组猜想仍然仍然还有一段距离.这个定理只能说明对于任意自然数 $m \ge 2$ ,存在无穷多个长度为 $m$ 的素元组,但是并不能说明素元组猜想是正确的.但是我们有以下的定理:

定理1.2:

$\quad$ 令 $m \in \mathbb{N}$ ,而 $r$ 是与 $m$ 有关的充分大的正整数,令 $\mathcal{A} = \{a_1, \cdots, a_r\}$ 为一列各不相同的整数,再记

$\mathcal{L} = \#\{ \mathcal{H} : \mathcal{H} = \{h_1, \cdots, h_m \} \subset \mathcal{A} \},$

$\mathcal{L}_0 = \#\{ \mathcal{H} \in \mathcal{L} : \text{ 存在无穷多个} n \text{使得} n+h_i \text{是素数}, \forall h_i \in \mathcal{H} \},$

$\quad$ 于是我们有

$\frac{\mathcal{L}_0}{\mathcal{L}} \gg_m 1.$

注意,定理1.2中的 $\gg$ 并不是远大于的意思,而是存在与 $m$ 有关的常数 $C_m$ ,使得

$1 < C_m \cdot \frac{\mathcal{L}_0}{\mathcal{L}},$

这就告诉我们,满足素 $m$ 元组猜想的 $\mathcal{H}$ 的测度在某种意义下(与 $\mathcal{H}$ 可能的所有排列方式而言)并不是 $0$ .

回到一开始GPY筛法的局限性,我们有

定理1.3:

$\quad$ 无条件地,我们有

$\liminf_{n} (p_{n+1} - p_n) \le 600.$

张益唐定理依赖于将素数的分布水平(the level of distribution)稍稍推广至 $\frac{1}{2}+\epsilon$ ,从而根据GPY论文中的结论便可以得到有界间隙的证明,而这用到的是Bombieri-Vinogradov定理的一种弱化形式.而定理1.3将仅依赖于Bombieri-Vinogradov定理,并且其证明过程实际上是较为初等的,并没有太多的组合方法.以及我们在有条件的情况下,有

定理1.4:

$\quad$ 假设Elliott-Halberstam猜想成立的情况下,我们有

$\liminf_{n} (p_{n+1} - p_n) \le 12,$

$\liminf_{n} {p_{n+2} - p_n} \le 600.$

Maynard还证明了,以上定理中的 $12$ 在这种证明框架下已经是最优的了(Polymath似乎也是认可了这一点),但 $600$ 仍然是可以优化的.

构造权函数的基本想法

GPY筛法的关键点

GPY筛法的关键想法是,对于一个admissible tuple $\mathcal{H} = \{ h_1, \cdots, h_k \}$ ,我们考虑

$S(N, v) = \sum_{N \le n < 2N} \left(\sum_{i = 1}^k \chi_{\mathfrak{P}}(n + h_i) - v\right) \omega_n, \quad (2.1)$

其中 $\chi_{\mathfrak{P}}(n + h_i) = 1$ 当且仅当 $n + h_i$ 是素数.于是当对于任意足够大的 $N$ 都有 $S(N, \rho) > 0$ 时,说明存在无穷多个 $n$ ,使得 $n+h_i$ 中至少有 $\lfloor \rho + 1 \rfloor$ 个素数.