Chihaya Anon的数学小窝!!!

引言 Riemann-Roch定理是代数几何和复分析中一个十分重要的定理,它建立了代数曲线,向量丛和其相关空间之间的深刻联系.并且在后续的时间里,许多数学家也对其进行了重述与推广,进一步丰富了Riemann-Roch定理的深刻内涵. 这个定理也是数学史上一个意义非凡的例子,它同时也展示了一个结论,通过不同的解释方法,能发挥意想不到的巨大作用. Riemann-Roch定理的原始形式 Riemann-Roch定理的发现,最早这篇在可以追溯到1857年Bernhard Riemann发表的一篇论文Theorie der Abel’schen Functionen[1][2]^{[1][2]}[1][2]. 我们都知道,在复平面上,一个有界的全纯函数当且仅当是常值函数,而无界的全纯函数,又可以由其零点及零点处的阶数很容易确定(首项系数顶多差一个常数);与此同时,某些实函数是不能延拓到整个复平面的,例如Logz, z\textrm{Log} z,\...

引言 稍微花了亿点点的时间,Halberstam的第一章终究还是看完了! 虽然已经在二潘的『哥德巴赫猜想』一书中简单看了Selberg筛法,自以为已经对筛法的思想有所入门.但是在看了Halberstam的第一章后,才发现我有很多忽略掉的细节和动机.而这些内容,也都是作者有意提及,让我突然意识到,竟然还有这种考量! 不愧是『筛法圣经』,收获颇丰!更让我想要把整本书都看完了,虽然现在只看完了1/10(会看完的).而第二章的内容则更是充实,这一章便已经又占去了整本书的1/6更多.可能是组合筛法并没有和后续内容有很多的配合,所以关于组合筛法要说的东西都浓缩在这一章中. 而张益唐关于素数间隙的工作主要便用到了组合筛法以及加权的想法,而细节方面,我后续还会仔细阅读原始论文的.这又是一个大工程了,应该还要翻译与之相关的一篇文献出来,但是以我的英语水平,我争取翻译出完整的句子来😇. 更新这一篇章应该也要一段时间了,虽然说目前还是以介绍符号为主,但是值得学习的内容还真不少.废话少说,直接开冲🤠! 前置(但不简单)的一些知识点 放在最前面的前面,是关于常数的一些默认的规定: ...

引言 (总该需要记录一点学习进度了,)虽然说在过去这段时间内已经简单的过了一遍陈景润的"1+2"定理,对其用到的Selberg筛法以及加权的思想也有了那么一点点的理解与认识了.但是张益唐的工作,我应该还是得开始看原始论文才行. 目前Halberstam的第一章也还在进行中,其中当然也涉及到了一些初等数论的知识,这倒不是什么大问题,遇到的最大阻碍还是文章风格方面的不适应(感觉Serre写的都是友善的了). 但是一些初等数论的知识我也还是需要记录一下,一方面也是为了准备初等数论的考试,当然另一方面就是因为我确实对初等数论的知识不够了解与熟练.🤡 以下都是关于同余式的解的存在性以及数量问题.实际上,由算术基本定理和中国剩余定理(CRT)可知,mod n\textrm{mod}\ nmod n的问题通通可以化为mod pa\textrm{mod}\...

引言 本篇将记录我对一道算法题的一些思考,而这题的思路应该比较明显一些.因为它直接就说了,是对1−n1-n1−n的一个排列,那么对称群SnS_nSn​应约而至.并且利用一些关于置换的性质,其实便能够很好地解决这个问题,毕竟抽代本身就是为了抽离出一个便于操作与计算的代数结构,直接抓住重点. 在此之前,我对于抽代也只是学习群环域这些理论知识,虽然知道计算机系也要学抽代,用抽代,但一直没有直观的感受.而对这个问题的思考过程中,之前学过的抽代知识自动地蹦出来并且很快地解决了问题,并没有用到多少复杂的内容.虽然对于抽代知识的考察并没有多少,但是在一个非数学的题目下,发现熟悉的身影,肯定还是觉得惊奇的,即使冥冥之中已经有所暗示. 因此我认为这还是很好的一个题,可以去启发其他同学的思考,不管是非数学系的还是数学系的.因此我打算写一篇比较详细的文章,所以写的内容里一半是抽代的一些概念,一半是解释概念时用的例子,解决算法问题的部分并没有多少.因此那一篇我就不会再搬过来了,在此处直接贴一个图片即可. 问题 题目来源可见原题链接,下面给出题目图片: 然后就是!『著名算法大师』Anon...

引言 本篇将记录我对一道算法题的一些思考,用到了特征这一概念进行解答,以及特征的具体构造式实际上是由圆法所启发的. 但是实际上也只要求提供一种有效的算法而已,因此构造式并没有发挥出作用来,只需要利用到特征函数这一概念就能比较好的说明思路了(可能其他人看来还是会一头雾水,一下子蹦出这么多符号来). 或许利用具体的构造式,可能就通过对aia_iai​的分析,便能得到混乱度上下界的一个估计(应该吧,我也不确定hhh).但是由于aia_iai​的不确定性,我也没有什么好的手段进一步探究特征函数的作用. 这里说明一下:这些内容我并没有详细参考资料,纯粹是记录一下自己的一个idea在具体问题下的使用.因此可以说,肯定是不严谨的,一些想法可能还是错误的,不要太认真即可. 问题 题目来源可见原题链接,下面给出题目图片: 然后是『著名算法大师』Anon Xau对该问题的简单翻译: 给定一个有限长度的数列a[n]a[n]a[n],其中n∈[0,n−1]n\in...

引言 这一篇博客将记录一些我读『哥德巴赫猜想』第一章内容的一些知识点.大概可能应该只是抄一些定理命题(数学类博客的通病),以及一些自己的片面见解,(但是有可能会出错).但是如果在后面的学习中发现有错误或者是新的领悟,我还是会在这边做补充修改的.不会直接修改,而是保留我原来的想法. 本文的主要参考资料为: 哥德巴赫猜想,第二版 by 潘承洞 & 潘承彪 第一章可以说也是性质的罗列,但是我基本上也都是跟着证明了一遍.其中模qqq特征的构造我还是主要参考二潘的『初等数论』,这里边对特征的构造更详细一些,但我应该也是会拆掉脚手架,直接摆一个让人莫名其妙的构造式了.(混沌邪恶!😈) 虽然说本文将只是知识点的罗列,但感觉最后的篇幅应该也不会短,只希望一篇能够解决就行.后续我觉得也不应该是学完一章才更一次博客,而是每周定时更新一次更好. 特征的定义 此处直接给出模qqq特征的表达式,详细的推导过程见参考资料[2].但是定义还是得写一遍: 定义1: 设q≥1q\ge...

引言 最近得开始记录一下读书进度才行了,敦促一下自己的学习进度,否则就只能毙业了.😥 而我目前看的这本主要的参考资料则是: Sieve Methods by H.Halberstam & H.E.Richert 不知道是不是作者Richert是德国人的原因,这本书的文章风格和我之前读过的英文教材都不相同:直接长难句起手,一句话八九行,从句里套从句,词汇也及其考验我的积累,适合作为六级备考阅读资料.😭 但是与二潘的『哥德巴赫猜想』一书不同,其主要就是围绕陈景润的"1+2"定理(Chen’s Theorem)展开,而此书则是更加详细的介绍了各种筛法(Sieve...

引言 上一篇的连分数主要也只是一个科普内容,还有一些内容不便于放在上篇里边,于是加在本文中. 由于本文并不像上一篇那样会面向学高数的同学,因此本文不会那么通俗,而是会比较严肃一点. Pell方程 形如x2−dy2=±1x^2-dy^2=\pm 1x2−dy2=±1的二元二次不定方程便称为佩尔(Pell)方程,其中ddd为不含平方因子的正整数(毕竟我们要研究的是Pell方程的所有有理整数解). 最早碰到这个问题还是高中阶段,兜兜转转又要面对它了,而且还有可能出现在我初等数论的考试中😫.当初面对的还只是x2−2y2=1x^2-2y^2=1x2−2y2=1这种比较仁慈的Pell方程的解(恶心的下面马上就能见到了),但是我也只是计算机枚举法求出的几个特殊值,还是算法代师Anon...

引言 本文实际上是我在我们自己的学辅网站上写的帖子,稍加修改直接搬过来,免得到现在都没有一篇正式的帖子. 如果知道以下知识可能更容易理解:...